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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme
Lehre HM
Test 5 (HM3)

Selbsttest 5 - Flächenintegrale

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).


Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1)
a) Gegeben sei die Fläche S mit Parametrisierung:

$X:[-2,2]\times [-2,2] \rightarrow \mathbb{R}^3, \,(u,v) \mapsto \begin{pmatrix} uv+u \ v^2 \ \mathrm{e}^{u-v} \end{pmatrix}$

Bestimmen Sie einen Normalenvektor n im Punkt (2,1,1):

n = \begin{pmatrix} a \ b \ 4 \end{pmatrix} mit a = und b =


b) Bestimmen Sei eine Gleichung der Tangetialebene T und einen Normalenvektor n der folgenden Fläche S im Punkt (-2,1,z):

$S: z=2x^2-3y^2, \, 4x^2+9y^2\leq 25$

T = \left\{ \begin{pmatrix} -2 \ a \ b \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \ c \ d \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} e \ 1 \ f \end{pmatrix}, \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\} mit

a = c = e =
b = d = f =

n = \begin{pmatrix} g \ h \ 1 \end{pmatrix} mit g = h =


Berechnen Sie nun den Flächeninhalt I von S:

1) I = \dfrac{\pi}{6}\left(\sqrt{101}-1\right)
2) I = \dfrac{\pi}{6}\left(\sqrt{101}^3-\frac16\right)
3) I = \dfrac{\pi}{36}\left(\sqrt{101}^3-1\right)



2) Berechnen Sie den Flächeninhalt I desjenigen Stücks der Ebene z-x-y=1, welches über dem Gebiet \Omega aus der folgenden Abbildung liegt:

I = \dfrac{\sqrt{a}}{2} mit a = .



3) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche:

$S: z=\frac12 \,\frac{y^2}{x},\quad \frac14 \leq x^2+y^2 \leq 1,\quad x \geq 0,\quad y^2 \leq x^2$

Ergebnis: I = \pi + \dfrac{3}{8}.

Hinweis: Verwenden Sie Polarkoordinaten für das Kreisringsegment. (\tan \phi)'=1+\tan^2\phi



4)
a) Gegeben sei die Fläche S: z=4-x^2,\, 0\leq x \leq2,\,-5\leq y \leq5.
Welches ist die korrekte Darstellung von S?

Berechnen Sie das Flächenintegral {\displaystyle\iint\limits_{S}(x+y)\,\mathrm do}.

Lösung: 1) \dfrac56\left(\sqrt{17}^3-1\right) 2) \dfrac56\sqrt{17}^3-\dfrac16
3) \dfrac16\left(\sqrt{17}-1\right) 4) \dfrac56\left(1-\sqrt{17}^3\right)

b) Gegeben sei die Folgende Fläche S:

Welches ist eine korrekte Beschreibung von S?

z\geq 0, \, x^2+y^2=1
y=1, \, x^2+z^2\leq 1
z=1,\, x^2+y^2\leq 1

Berechnen Sie das folgende Flächenintegral:

{\displaystyle\iint\limits_S} xyz \,\mathrm do =



5) Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfelds

$F(r,\theta,\phi)=\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ r \cos \theta \end{pmatrix}$

von unten nach oben durch die Halbkugelschale

$S: \quad r=a, \quad 0\leq \phi \leq 2\pi,\quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

Bestimmen Sie dazu zunächst die Flussdichte F(x)\nu(x):

r\sin^2 \thetar^2\sin \thetar^2\cos \thetar\cos^2 \theta

Ergebnis: {\displaystyle\iint\limits_S} F(x)\nu(x)\,\mathrm do = \pi\, a^3






In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.