Studieren in der Arbeitsgruppe Inverse Probleme
Unser Forschungsgebiet: Inverse Streuprobleme
Die Arbeitsgruppe Inverse Probleme beschäftigt sich mit direkten und inversen Streuproblemen und eng verwandten Identifikationsproblemen. Dies sind Fragestellungen die in Anwendungen auftreten, etwa bei tomographischen Verfahren. Ziel ist es, aus gemessenen Daten gestreuter akustischer, elektromagnetischer oder elastischer Wellen Rückschlüsse auf das Streuobjekt zu ziehen. Ein breites Feld an verschiedenen Anwendungen in Medizin, Geophysik, Elektrotechnik und Materialprüfung motiviert solche Fragestellungen. Die Modellbildung des Streuprozesses führt dabei stets auf Randwertprobleme zu partiellen Differentialgleichungen wie etwa der Helmholtzgleichung (oder Schwingungsgleichung), , oder den Maxwell Gleichungen bei unterschiedlichen geometrisch/physikalischen Gegebenheiten.
Man unterscheidet zwischen dem direkten Problem, in unserem Fall dem Streuproblem, und dem inversen Problem, welches in der Rekonstruktion des Streuobjekts aus Teilkenntnissen des Streufelds besteht. Um letztendlich solche Inversen Probleme zu behandeln, ist ein weitreichendes Verständnis des direkten Randwertproblems unumgänglich. Daher beschäftigt sich die Arbeitsgruppe unter anderem mit der Theorie zu partiellen Differentialgleichungen, die sowohl über Integralgleichungen aus Ansätzen der Potentialtheorie als auch mit Hilfe von Variationsgleichungen untersucht werden. Es spielen vor allem Methoden der Funktionalanalysis eine entscheidene Rolle. So werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen geklärt, differenzierbare Abhängigkeiten etwa von Streuobjekten gezeigt oder Abbildungseigenschaften von Streu-, Fernfeld- oder Nahfeldoperatoren bewiesen.
Die Behandlung der inversen Rekonstruktionsprobleme erfordert besondere Beachtung, da es sich um nichtlineare, schlecht gestellte Probleme handelt. Schlecht gestellt heißt, dass Existenz, Eindeutigkeit und/oder Stabilität nicht garantiert werden können. Dies bedeutet in der Praxis, dass kleinste Fehler in den Daten beliebig große Abweichungen in den Lösungen bewirken können. Sowohl die mathematisch höchst anspruchsvollen Fragen zur Identifizierbarkeit, also zu klären, inwiefern ein Datensatz ein Streuobjekt zumindest theoretisch eindeutig festlegt, als auch die Entwicklung von Strategien zur numerischen Rekonstruktion des Streuobjekts liegen im Interesse der Arbeitsgruppe.
Auch die numerische Lösung von Randwertproblemen und der zugehörigen Inversen Probleme ist Teil des Forschungsfeldes der Argbeitsgruppe. So wird die numerische Behandlung von Integralgleichungen untersucht, die Auswertung von speziellen Greenschen Funktionen diskutiert, und es werden Algorithmen und Regularisierungsmethoden zu Inversen Problemen entwickelt und ausgetestet.
Eine ausführliche Übersicht der aktuellen Forschungschwerpunkte in der Arbeitsgruppe finden Sie auf unserer Seite Forschungsgebiete.
Wie finde ich einen Einstieg?
Studierenden, die sich für eine Spezialisierung in diesem Bereich der Mathematik, etwa in Hinblick auf Bachelor-, Diplom- oder Masterarbeit interessieren, bieten sich nach den Grundvorlesungen vor allem Vorlesungen und Seminare an zu den folgenden Themen:
- Aufbaumodule im Bachelobereich (werden jährlich angeboten):
- Funktionalanalysis
- Inverse Probleme
- Module des Bachelor-und Masterbereichs, die ebenfalls regelmäßig angeboten werden, und besonders gut geeignet sind:
- Integralgleichungen
- Helmholtzgleichung / Schwingungsgleichung
- Partielle/Elliptische Differentialgleichungen
- Weitere Module, die z.Teil unregelmäßig angeboten werden:
- Impedanztomographie / Radon Transformation
- Numerische Behandlung von Integralgleichungen / Randelementmethoden
- Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen
- Maxwell Gleichungen
- Potentialtheorie
- Variationsgleichungen
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