$Webrelaunch 2020$

Fakultät für Mathematik

Startseite

Institute

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 1 (HM1)

Selbsttest 1 - Grundbegriffe

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben selbständig zu lösen - dies ist wichtiger, als eine korrekte Antwort - und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

Als Wiederholung und Vorbereitung auf die Klausur, können Sie auch die Aufgaben aus dem Vorkurs Mathematik bearbeiten. Diese finden Sie auf der Seite http://www.math.kit.edu/iag1/~hettlich/seite/vorkurs_heft unten.

1) Welche der folgenden Mengenoperationen sind identisch? (Es können mehrere Mengen übereinstimmen.)

2) Geben Sie für $A=\left\{n\in\mathbb{N}:2\leq n<8\right\},\,B=\left\{x\in\mathbb{R}:x\leq 9\right\},\,C=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-1|\leq |x+1|\right\}$
an, welche der folgenden Mengen übereinstimmen. (Hilfe)

3) Berechnen Sie die folgenden Summen: (Hilfe)

4) Es sind positive Zahlen $x_j>0$ gegeben. Welche der folgenden Ungleichungen ist eine Verallgemeinerung der Bernoulli Ungleichung (Hilfe):

(1) $n \leq (1+x_1)(1+x_2) ... (1+x_n)$
(2) $x_1+ ... + x_n \leq (1+x_1)(1+x_2) ... (1+x_n)$
(3) $x_1+ ... + x_n \leq (1+x_1)(1+x_2) ... (1+x_n) - 1$
(4) $x_1 ... x_n \leq (1+x_1)(1+x_2) ... (1+x_n)$

Markieren Sie Ihre Antwort

$(1)$	$(2)$	$(3)$	$(4)$

Wenn man diese Verallgemeinerung mittels einer vollständigen Induktion beweist, benötigt man welche der folgenden Ungleichungen:

(5) $(1+x_1)(1+x_2) ... (1+x_n) > 1$
(6) $x_{n+1}(x_1+ ... + x_n) > 0$
(7) $x_1+ ... + x_n \geq \max\{x_j\}$
(8) $x_1 ... x_n > 0$

Markieren Sie Ihre Antwort

$(5)$	$(6)$	$(7)$	$(8)$

5) Die Gleichung

$\dfrac{z+1}{z+i} + \dfrac{z^2+z}{z-1} = \dfrac{z^3+(1+i)z^2+3iz+1}{z^2+(i-1)z -i}$

hat zwei Lösungen $z_1,z_2$ . Berechnen Sie:

(a)

	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$1$	$\sqrt{2}$	$5$
den Betrag $\|z_1+2 \overline{z_2}\|$

(b)

	$-1$	$-\dfrac{1}{2}$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$1$
den Imaginärteil Im $(\dfrac{z_1}{z_2})$

(c)

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
das Argument arg $(z_1 z_2) = n \dfrac{\pi}{4}$ mit $n=$

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	$A\cap (B\cup C)$	$A \cap B \cap C$	$A\cup B\cup C$	$A\cup (B\cup C)$	$(A\cap B)\cap C$
$(A\cap B)\cup (A\cap C)$
$A\cap (B\cap C)$
$A\cup C\cup B$
$(A\cup B)\cup C$
$C\cap A\cap B$

	A	B	C	$\left[0,9\right]$	$\mathbb{R}$	$\emptyset$	$\left\{x\in\mathbb{R}:x>9\right\}$
$A\cap B$
$B\cap C$
$C\cap A$
$A\cup B$
$A\cup C$
$B\cup C$
$A\backslash B$
$C\backslash B$

	$638$	$(\dfrac{1}{4})^{638}$	$\dfrac{4^{29} -1}{3\cdot4^{36}}$	$32$	$\dfrac{4^{27} -1}{3\cdot4^{35}}$	$666$	$(n+6)(m+2)^2$	$(n+5)(m+2)^2$	$16$
a= $\sum_{j=-5}^{n}(m+2)^2$
b= $\sum_{n=8}^{36}n$
c= $\sum_{k=0}^{5}{5 \choose k}$
d= $\sum_{n=0}^{28}(\dfrac{1}{4})^{n+8}$