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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme
Lehre HM
Test 3 (HM1)

Selbsttest 3 - rekursiv definierte Folgen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihren Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Gegeben sei je eine rekursiv definierte Folge in \mathbb{C}, welche durch folgende Vorschrift für n \in \mathbb{N} bestimmt ist. Welche Eigenschaften erfüllen die Folgen? (Hilfe)

a_0=-\frac{1}{2}; a_{n+1}=a_n^2b_0=1; b_{n+1}=1+\frac{b_n}{2}c_0=5; c_{n+1} = \frac{1+c_n^2}{4}d_0=2; d_{n+1} = \frac{1+d_n^2}{4}
monoton
beschränkt
divergent
konvergent
Nullfolge
strebt gegen unendlich
besitzt konvergente Teilfolge



2) Bestimmen Sie zu folgenden rekursiv definierten Folgen die explizite Darstellung, indem Sie ihre Vermutung induktiv beweisen. Ordnen Sie den Folgen die richtige Darstellung zu.

1) \frac{1}{2^n}2) \frac{n+1}{2}3) \frac{1}{1+n}4) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}5) \frac12\, n6) \frac{1}{n^2}
a_1=1;\, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\rigth)\,a_n
b_1=1;\, b_{n+1}=\frac{1}{2}\, b_n
c_1=1;\, c_{n+1}=\dfrac{1}{\frac{1}{c_n}+2n+1}


3) Untersuchen Sie die nachstehenden rekursiv definierten Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

konvergent Grenzwert
JaNein
1) 0 \leq a_0 \leq 1, a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+2}{3}
2) a_0 > 2, a_{n+1}=\frac{1}{4}\, a_n^2 +1
3) a_0=2, a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac{4}{a_n}\right)
4) 0 < a_0 < 1, a_{n+1}=1-\sqrt{1-a_n}
5) a_1=2, a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac1n


4)
a) Es sei (a_n)_{n\in\mathbb{N}} eine monotone positive Folge, die gegen a\in\mathbb{R} konvergiert. Untersuchen Sie, ob die Folge (b_n)_{n\in\mathbb{N}} definiert durch

$b_n=\frac{1}{n+1} (a_0+a_1+...+a_n)$

konvergiert und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

JaNein
b_n konvergent Grenzwert von b_n:

b) Die Folge (a_n)_{n\in\mathbb{N}} ist bestimmt durch a_1=8 und

$a_{2n+1}=a_{2n}=n-a_n, \,\,n\in\mathbb{N}$

Bestimmen Sie den Wert von a_{204}.

a_{204}= .



5)
a) Betrachten Sie die folgende Bildfolge:

Welche der folgenden Darstellungen, ist die korrekte rekursive Darstellung für die Anzahl der nicht zusammengesetzten Dreiecke (Dreiecke, die im Innenraum keine Kanten haben) im n-ten Bild?

1) a_1=1, a_{n+1}=a_n+3n
2) a_1=1, a_{n+1}=a_n+3^n
3) a_1=1, a_{n+1}=a_n-n+3^n

Anzahl der nicht zusammengesetzten Dreiecke im 5. Bild: .


b) Betrachten Sie die folgende Bildfolge:

Welche ist die korrekte rekursive Darstellung für die Anzahl der Schnittpunkte im n-ten Bild?

1) a_1=1, a_{n+1}=a_n+3n-1
2) a_1=1, a_{n+1}=a_n+n^2
3) a_1=1, a_{n+1}=a_n+2n+1

Welche explizite Darstellung ergibt sich daraus (beweisen Sie durch vollständige Induktion)?

1) a_n=n^2
2) a_n=2n
3) a_n=2^{n-1}


In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.