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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 6 (HM1)

Selbsttest 6 - Stetigkeit und Grenzwerte

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1)Gegeben sind die Grenzwerte $0, \infty, -\infty$ und eine Konstante $c$ mit $c \neq 0$ der Funktionen f und g. Geben Sie, falls möglich, den daraus resultierenden Grenzwert für Summe, Differenz, Produkt und Quotient von f und g an:

a) $f+g$
$f\rightarrow c, g\rightarrow c$ : $f+g \rightarrow$
$f\rightarrow c, g\rightarrow 0$ : $f+g \rightarrow$
$f\rightarrow +\infty, g\rightarrow -\infty$ : $f+g \rightarrow$
$f\rightarrow c, g\rightarrow -\infty$ : $f+g \rightarrow$
$f\rightarrow 0, g\rightarrow +\infty$ : $f+g \rightarrow$

b) $f-g$
$f\rightarrow c, g\rightarrow c$ : $f-g \rightarrow$
$f\rightarrow c, g\rightarrow -\infty$ : $f-g \rightarrow$
$f\rightarrow 0, g\rightarrow +\infty$ : $f-g \rightarrow$
$f\rightarrow -\infty, g\rightarrow -\infty$ : $f-g \rightarrow$
$f\rightarrow -\infty, g\rightarrow +\infty$ : $f-g \rightarrow$
$f\rightarrow +\infty, g\rightarrow c$ : $f-g \rightarrow$
$f\rightarrow +\infty, g\rightarrow +\infty$ : $f-g \rightarrow$

c) $f\cdot g$
$f\rightarrow c, g\rightarrow c$ : $f\cdot g \rightarrow$
$f\rightarrow c, g\rightarrow 0$ : $f \cdot g \rightarrow$
$f\rightarrow 0, g\rightarrow -\infty$ : $f\cdot g \rightarrow$
$f\rightarrow 0, g\rightarrow +\infty$ : $f\cdot g \rightarrow$
$f\rightarrow -\infty, g\rightarrow -\infty$ : $f\cdot g \rightarrow$
$f\rightarrow -\infty, g\rightarrow +\infty$ : $f\cdot g \rightarrow$

d) $\frac{f}{g}$
$f\rightarrow c, g\rightarrow c$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow c, g\rightarrow 0$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow c, g\rightarrow -\infty$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow 0, g\rightarrow c$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow 0, g\rightarrow 0$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow -\infty, g\rightarrow -\infty$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow -\infty, g\rightarrow 0$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow +\infty, g\rightarrow -\infty$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$
$f\rightarrow +\infty, g\rightarrow +\infty$ : $\frac{f}{g} \rightarrow$

2)
a)Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: (Hilfe)

1) $\lim\limits_{x\rightarrow 5} \dfrac{x^2-2x-15}{x^2-25}$ =
2) $\lim\limits_{x\rightarrow 1} \left( \dfrac{1}{1-x} - \dfrac{3}{1-x^3} \right)$ =
3) $\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ =
4) $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin ax}{x}$ =
5) $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left( \dfrac{x+1}{3x+2} \right)^{x^2}$ =

b) Bestimmen Sie den links- und rechtsseitigen Grenzwert $\lim\limits_{x\rightarrow x_0, x<x_0}f(x)$ bzw. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0, x>x_0}f(x)$ an der gegebenen Stelle.

$f_1(x)=\dfrac{\sin x}{\left\|x\right\|}$ , $x=0$ :		$\lim\limits_{x\rightarrow 0, x<0}f_1(x)$ =
		$\lim\limits_{x\rightarrow 0, x>0}f_1(x)$ =

$f_2(x)=\dfrac{2+x}{4-x^2}$ , $x=2$ :		$\lim\limits_{x\rightarrow 2, x<2}f_2(x)$ =
		$\lim\limits_{x\rightarrow 2, x>2}f_2(x)$ =

3) Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen.

4)
a) Wie muss der Funktionswert bei $x=0$ gewählt werden, damit die Funktion an dieser Stelle stetig ist?

$f:\mathbb{R} \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x \ln(x^2)$		$f(0)$ =
$g:\mathbb{R}_{\geq -1} \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}$		$g(0)$ =
$h:\mathbb{R}\backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, h(x)=1-x\sin(\frac1x)$		$h(0)$ =

b) Wie müssen $a$ und $b$ gewählt werden, damit $f$ stetig ist?
$f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^4-10x^2+9}{x^2-4x+3},\,\,\,x\neq 1,\, x\neq 3\a,\qquad \qquad \qquad x=1\b,\,\qquad \qquad \qquad x=3\end{cases}$

$a$ =.
$b$ =.

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	$x=-2$	$x=-1$	$x=0$	$x=1$	$x=2$
$f(x)=\dfrac{1}{1+2^{\frac{1}{x-1}}}$
$g(x)=\dfrac{x}{x^2-4}$
$h(x)=\dfrac{x-2}{x^2-3x+2}$
$k(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$