Selbsttest 7 - Reihen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Welche der folgenden Aussagen über Reihen sind korrekt?

Die Reihe $\left(\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\right)$ konvergiert.
Konvergiert $\left(\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)\right)$ , so konvergiert $\left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right)$ .
Falls $\left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right)$ konvergiert, ist $(a_n)$ eine Nullfolge.
Sei $0\leq a_k\leq b_k$ für alle $k$ . Konvergiert $\left(\sum_{k=1}^\infty b_k\right)$ , so konvergiert $\left(\sum_{k=1}^\infty a_k\right)$ .
Jede konvergente Reihe ist absolut konvergent.
Falls die Reihe $\left(\sum_{k=1}^\infty a_k\right)$ absolut konvergiert, kann die Reihenfolge der Summation beliebig vertauscht werden, ohne dass sich der Grenzwert ändert.

2) a) Sei $(a_n)$ eine Nullfolge mit $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{1}{2}$ . Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)$ konvergiert.
$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)$ konvergiert absolut.
Der Reihenwert $\sum_{n=0}^\infty a_n$ existiert nicht.
Die Reihenfolge der Summation darf geändert werden.

b) Für die Folge $(b_n)$ gelte $b_n\rightarrow 0$ für $n\rightarrow\infty$ und $b_n<0$ für alle $n\in\mathbb{N}$ .
Konvergiert die Reihe $\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^nb_n\right)$ im Allgemeinen?
Falls nicht, welche Bedingung fehlt?
c) Mit welchem Konvergenzkriterium für Reihen kann man nachweisen, dass $(a_n)$ mit $a_n=\frac{n}{2^n}$ eine Nullfolge ist? Geben Sie alle an, die möglich sind!

Leibniz-Kriterium
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium

3) Die Reihe $(s_n)$ sei gegeben durch die Partialsummen $s_n=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\left(2-\sum\limits_{j=0}^k\left(\frac{1}{2}\right)^j\right)$ .
a) Berechnen Sie $s_3$ :
b) Konvergiert die Reihe?

4) Berechnen Sie den Reihenwert folgender Reihe (geben Sie diese - wenn nötig - als Dezimalzahl an und benutzen Sie einen Punkt anstelle eines Kommas):(Hilfe)

$\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{2^{k+1}}{5\cdot 3^k}\right)$

5) Berechnen Sie den Reihenwert folgender Reihe (geben Sie diese - wenn nötig - als Dezimalzahl an und benutzen Sie einen Punkt anstelle eines Kommas):

$\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{k}{(k+1)!}\right)$

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.