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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 10 (HM1)

Selbsttest 10 - Funktionen für komplexe Argumente

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Ordnen Sie den folgenden komplexen Zahlen ihre richtige Darstellung in Polarkoordinaten zu.

2) Geben Sie die Lösungen folgender Ausdrücke für $z=-1-2\mathrm i$ an.

3)
Wie viele Lösungen hat die Gleichung $e^z=-1$ ?

$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	unendlich viele

Welche $z\in\mathbb{C}$ sind in der Lösungsmenge enthalten?

$z_1=-3\mathrm i\pi$	$z_2=-2\mathrm i\pi$	$z_3=-\mathrm i\pi$	$z_4=\mathrm i\pi$	$z_5=2\mathrm i\pi$	$z_6=3\mathrm i\pi$

Bestimmen Sie den komplexen Logarithmus von $-1$ .

	$z_1=-3\mathrm i\pi$	$z_2=-2\mathrm i\pi$	$z_3=-\mathrm i\pi$	$z_4=\mathrm i\pi$	$z_5=2\mathrm i\pi$	$z_6=3\mathrm i\pi$
$\ln(-1)$ =

4) Betrachten Sie die folgende komplexe Gleichung:

$z^3=-1$

Wie viele Lösungen hat die Gleichung? (Hilfe)

$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	unendlich viele

Bestimmen Sie die Lösung(en) der Gleichung und kreuzen Sie die $z\in\mathbb{C}$ an, die in der Lösungsmenge enthalten sind.

$z_1=\exp(0)$	$z_2=\exp(\frac{1}{3}\mathrm i \pi)$	$z_3=\exp(\frac{2}{3}\mathrm i \pi)$	$z_4=\exp(\mathrm i \pi)$	$z_5=\exp(\frac{4}{3}\mathrm i \pi)$	$z_6=\exp(\frac{5}{3}\mathrm i \pi)$

5) Gegeben sei die komplexe Funktion $f(z)=z^2-6\mathrm i z - 2\mathrm i -9$ .
Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$ , indem Sie quadratisch ergänzen und geben Sie die Lösungen aufsteigend nach Realteil an.

$z_1$ = + $\mathrm i$

$z_2$ = + $\mathrm i$

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	1) $z=5 \exp(-\frac{\pi}{2}\mathrm i)$	2) $z=3\exp(\mathrm i \pi)$	3) $z=8\sqrt2 \exp(-\frac34 \pi \mathrm i)$	4) $z=2\exp(\frac{\pi}{3}\mathrm i)$
a) $z=1+\sqrt3 \mathrm i$
b) $z=-5 \mathrm i$
c) $z=-8 -8 \mathrm i$
d) $z=-3$

	1) $\operatorname{Re}(z)$	2) $\operatorname{Im}(z)$	3) $\operatorname{Re}(\overline{z})$	4) $\operatorname{Re}(\operatorname{Im}(z))$	5) $\operatorname{Re}(\frac{z}{z+1})$	6) $\dfrac{\left\|z+z\right\|^2}{10}$	7) $\dfrac{\left\|\left\|z\right\|+\left\|z\right\|\right\|^2}{10}$	8) $\dfrac{\left\|z\right\|^2}{5}$	9) $\dfrac{\left\|z^2\right\|}{5}$	10) $5\cdot\left\|z^{-1}\right\|^2$
$-2$
$-1$
$1$
$2$