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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 11 (HM1)

Selbsttest 11 - Differentialrechnung

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Ordnen Sie die Graphen der Funktionen den Graphen ihrer Ableitungen zu: (Hilfe)

2) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

	Richtig	Falsch	Hinweis
Sei $f:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ in $x_0\in I$ differenzierbar. Dann ist $f$ stetig in $x_0$ .			Satz 5.4
Es gibt Funktionen, die genau einmal differenzierbar in $x_0\in I$ sind, aber nicht stetig differenzierbar in $I \subseteq \mathbb{R}$ .			Bsp. 5.6b
Bei der Quotientenregel für $\left(\frac{f}{g}\right)'(x)$ muss $f(x)\neq 0$ vorausgesetzt werden.			Satz 5.8
Seien $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar. Dann ist die Komposition $(g\circ f)$ differenzierbar.			Satz 5.10
Der Satz über die Differentiation der Umkehrabbildung setzt die strenge Monotonie von $f$ voraus.			Satz 5.12
Die Potenzreihen der trigonometrischen Funktionen $\sin x, \cos x, \sinh x$ sind auf ganz $\mathbb{R}$ gliedweise differenzierbar.			Satz 5.14
Sei $f$ stetig auf $\mathbb{R}$ . Dann existiert zu jedem $x_0\in \mathbb{R}$ eine Tangente an $f$ .			Satz 5.17

3) Welches ist die richtige Ableitung der folgenden Funktionen?
a) $f(x)=a^{bx}\ln(cx)$


1) $f'(x)=a^{bx}\,b \ln(a) \ln(cx)+a^{bx} \frac{1}{x}$
2) $f'(x)=a^{bx}\ln(cx) +a^{bx} \frac{1}{x}$
3) $f'(x)=a^{bx}\,b \ln(a) \frac{1}{x}$

b) $g(x)=\sin^2(x\ln x)$


1) $g'(x)=2\sin(x\ln x)\cos(x\ln x)(1\cdot \frac1x)$
2) $g'(x)=2\sin(x\ln x)\cos(x\ln x)(1+\ln x)$
3) $g'(x)=2\sin(x)\cos(x\ln x)(1+\ln x)$

c) $h(x)=x^x$


1) $h'(x)=x^x \ln x$
2) $h'(x)=x^x(\ln x +1)$
3) $h'(x)=x^{x-1}+x^x \ln x$

4) Sind folgende Funktionen in $x_0=0$ differenzierbar bzw. stetig? (Hilfe)

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x,&\mbox{}x\leq 0 &x^2,&\mbox{}x>0}\end{array}$			$g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^3+1,&\mbox{}x\leq 0 &x^2,&\mbox{}x>0}\end{array}$
$h(x)=\left\{\begin{array}{cl}1,&\mbox{}x\leq 0 &x^2+1,&\mbox{}x>0}\end{array}$			$u(x)=$ Umkehrfunktion zu $x^5$

5)
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente $g$ an die Funktion $f(x)=\sin x$ in $x_0=\pi$ .

$g(x)\,=$ $x$ +

b) Sei $f(x)=-2x^2+10x-15$ . Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente $g$ , die parallel ist zur Geraden $h(x)=-2x+6$ , an die Funktion $f$ .

$g(x)\,=$ $x$ +

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

$\begin{array}{cc}\ddots & f'\f&\ddots \end{array}$	$a$ $vk-plot-f16.png$	$b$ $vk-plot-f13.png$	$c$ $vk-plot-f15.png$	$d$ $vk-plot-f14.png$
$1$ $vk-plot-f1.png$
$2$ $vk-plot-f2.png$
$3$ $vk-plot-f3.png$
$4$ $vk-plot-f4.png$

	$f$	$g$	$h$	$u$
differenzierbar
nicht differenzierbar
stetig
nicht stetig