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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 13 (HM1)

Selbsttest 13 - Integralrechnung

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?

	Ja	Nein	Hinweis
Die Menge $M = \coloneqq \left\{x_k\in \mathbb{R} : x_k= \frac{1}{k}, k \in \mathbb{N} \right\}$ ist eine Nullmenge?			s.90
Für alle $f \in L([a,b])$ gilt: $\left\| \int\limits_a^b f \,\mathrm dx \right\| < \int\limits_a^b \left\|f\right\|\,\mathrm dx$ .			s.94
Für stetige nichtnegative Funktionen gilt: $(\int\limits_a^b f(x) \,\mathrm dx=0) \Rightarrow ( f(x)=0\,\forall x\in [a,b])$			s.94
Ist $f(x)=\frac{1}{x}$ auf $[\epsilon,1]$ für $0<\epsilon<1$ integrierbar? Warum?			s.95
Es sei $f \in C([a,b])$ . Muss g stetig sein, damit die folgende Gleichung für ein $z \in [a,b]$ gilt? $\int\limits_a^b f(x)g(x) \,\mathrm dx = f(z)\int\limits_a^b g(x) \,\mathrm dx$ .			s.96
Gilt der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für jede stetig differenzierbare Funktion $F$ ? Warum?			s.98,99

2) Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale und markieren Sie die korrekte Lösung: (Hilfe)

a) $I_1=2\int\limits_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}\,dx$

1) $I_1=2$
2) $I_1=2\ln 2$
3) $I_1=2\arctan{\frac{\sqrt2}2}$
4) $I_1=\ln 2$

b) $I_2=\int\limits_0^1 x^2e^x\,dx$

1) $I_2=\frac13e$
2) $I_2=e-2$
3) $I_2=e-\frac23$
4) $I_2=\frac13e-2$

3) Es sei $f(x)=\int\limits_1^x e^{-t^2}\,dt\,.$
Dann lautet die Ableitung: (Hilfe)

1) $f'(x)=-2xe^{-x^2}$
2) $f'(x)=e^{-x^2}$
3) $f'(x)=e^{-x^2}-\frac1e$
4) $f'(x)=-2xe^{-x^2}-\frac2e$

4) Wählen Sie zu den folgenden gebrochenrationalen Funktionen die Summanden für den Ansatz der Partialbruchzerlegung aus.

5) Für $f \in L(0,1)$ ist die Differentialgleichung $u'(x)=x^2\,f(x)$ zu lösen: (Hilfe)

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	$\dfrac{A_1}{x-1}$	$\dfrac{A_2}{(x-1)^2}$	$\dfrac{B_1}{x-2}$	$\dfrac{B_2}{(x-2)^2}$	$\dfrac{Cx+D}{x^2+1}$
$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}$
$g(x)=\dfrac{4x+1}{x^2-3x+2}$
$h(x)=\dfrac{1}{x^3-2x^2+x-2}$

	Ja	Nein
Ist die Lösung eindeutig?
Ist $u \in L(0,1)$ ? Betrachten Sie hierzu $f(x)=\frac{1}{x^4}$ .
Sei $f=u$ . Ist $u(x)=4\exp\left(\frac13x\right)$ eine Lösung?