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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme
Lehre HM
Test 7 (HM2)

Selbsttest 7 - Differentialgleichungen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Gegeben seien folgende Differentialgleichungen für Funktionen in x>0:

$x^2y''(x)+2xy'(x)-y(x)=0\,,\qquad xu''(x)-u'(x)-\frac1x u(x)=0\,,$

$v''(x)+x^{-1}v'(x)-x^{-2}v(x)=0\,,\qquad x^2w''(x)-2xw'(x)-w(x)=0$

und Polynome

$\begin{array}{rcl}p(\lambda)&=&\lambda^2-3\lambda-1\,,\ q(\lambda)&=&\lambda^2+\lambda-1\,,\ r(\lambda)&=&\lambda^2-1\,,\ s(\lambda)&=&\lambda^2-2\lambda-1\,.\end{array}$

Ordnen Sie den Differentialgleichungen für u,v,w,y jeweils dasjenige der Polynome p,q,r,s zu, das ihr charakteristisches Polynom darstellt: (Hilfe)

pqrs
y
u
v
w



2) Lösen Sie die angegebenen Anfangswertprobleme und berechnen Sie den angegebenen Funktionswert der Lösung: (Hilfe)


012e3
y''(x)+y'(x)-2y(x)=0,\ y(0)=e^2+2e^{-1}\,,\ y'(0)=-2e^2+2e^{-1}\,,\ y(1)=
u''(x)-4u'(x)+4u(x)=0,\ u(0)=2e^{-2}\,,\ u'(0)=3e^{-2}\,,\ u(1)=
x^2v''(x)-3xv'(x)+4v(x)=0,\ v(1)=e^{-2}\,,\ v'(1)=3e^{-2}\,,\ v(e)=



3) Die Differentialgleichung

$(x^2+2x)u''(x)+(x^2-2)u'(x)-(2x+2)u(x)=0,\qquad x > 0$

hat die Lösung u_1(x)=\exp(-x). Bestimmen Sie durch Reduktion der Ordnung mit dem Ansatz u_2(x)=v(x)u_1(x) eine Differentialgleichung für v:

$a(x)v''(x)+b(x)v'(x)+c(x)v(x)=0$

und eine zu u_1 linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung und markieren Sie Ihre Ergebnisse (bzw. den zu Ihrem jeweiligen Ergebnis konformen Term): (Hilfe)

0\,,x^2\,,x^2+2x\,,-x^2-4x-2\,,\exp(x)x^2
a(x)=       
b(x)=       
c(x)=       
v(x)=       
u_2(x)=       



In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.