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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
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Test 11 (HM2)

Selbsttest 11 - Parameter-Integrale und Laplace-Transformation

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.




1) Geben Sie für die nachfolgenden Funktionen an, ob die Laplacetransformierte existiert: (Hilfe)

existiert existiert nicht
f_1(x) Polynom vom Grad n
f_2(x)=e^{\sqrt{x^3}}
f_3(x) mit \exists\, c>0, a\in\mathbb{R} mit |f(x)|\leq c \,e^{ax} für fast alle x\geq 0
f_4(x)=a^{x^2}, a>1



2) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? (Hilfe)

RichtigFalsch
1) Sei f\in \mathcal E. Dann ist \mathcal Lf stetig auf [0,\infty).
2) Sei f\in \mathcal E. Dann gilt \frac{\mathrm d^n}{\mathrm ds^n}\,\mathcal Lf existiert für alle s>a, n\in \mathbb{N}.
3) Sei f\in \mathcal E. Dann gilt \lim\limits_{s\rightarrow\infty} \mathcal Lf(s)=0.
4) Es gilt \mathcal Lf(s-a)=e^{-as}\,\mathcal Lf(s) für alle f\in\mathcal E.
5) Es gilt \mathcal L(e^{at}f(t))(s)=\mathcal Lf(s-a) für alle f\in\mathcal E.
6) Sei f\in \mathcal E. Dann gilt für alle n\in\mathbb{N}: \mathcal L(f^{(n)})(s)=(-1)^n\,\mathcal L(t^{n}f(t))(s).



3) Ordnen Sie den folgenden Funktionen die richtige Laplacetransformierte zu. (Hilfe)

\begin{array}{cc}\ddots & f(t)\mathcal Lf(s)&\ddots\end{array} f_1(t)=e^t\cos(2t) f_2(t)=t\sin(\pi t) \begin{array}{ll}f_3(t)= & t(\cosh(2t)\ & -\sinh(2t))\end{array} \begin{array}{ll}f_4(t)= & 2\sin(3t)\ & +\frac13 t^3\end{array}
a) \dfrac{2\pi s}{(s^2+\pi^2)^2}
b) \dfrac{s^2-\pi^2}{(s^2+\pi^2)^2}
c) \dfrac{s-1}{(s-1)^2+4}
d) \dfrac{2s}{s^2+9}+\dfrac{6}{s^3}
e) \dfrac{6}{s^2+9}+\dfrac{2}{s^4}
f) \dfrac{1}{(s+2)^2}



4) Ordnen Sie den dargestellten Funktionen die korrekte Laplacetransformierte zu: (Hilfe)

1) 2) 3)
a) \mathcal Lf(s)=\dfrac{e^{-s}}{s(1+e^{-s})}
b) \mathcal Lf(s)=\dfrac{e^s}{s(1+e^{-s})}
c) \mathcal Lf(s)=\dfrac{1}{s(1+e^{-s})}
d) \mathcal Lf(s)=\frac{1}{s}\left(1-\dfrac{e^{-s}}{s(1-e^{-s})}\right)
e) \mathcal Lf(s)=\frac{1}{s^2}-\dfrac{e^{-s}}{s(1-e^{-s})}



In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.