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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 12 (HM2)

Selbsttest 12 - Vektorwertige Funktionen und Normen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Ordnen Sie den Abbildungen die richtigen Funktionen zu.

1)	2)
3)	4)

2)
a) Geben Sie für die folgenden Ableitungen die Dimensionen an.

		Anzahl Zeilen	Anzahl Spalten
$f\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3,\, f(x)=\begin{pmatrix} x_2 \ x_1 \ \cos(x_1)\end{pmatrix}$	$f'$ :
$f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\, f(x)=x_1^2\cos(x_2)$	$f''$ :

b) Berechnen Sie die Jacobimatrix der Funktion

$f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,\, f(x,y)= {xy^4 \choose x^3y^2}$

an der Stelle $(1,2)$ . Die Jacobimatrix hat die Form $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ .

$a_{11}=$	$a_{12}=$
$a_{21}=$	$a_{22}=$

c) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Tangente an die durch

$c(t)= \mathrm e^t {\cos t \choose \sin t}$

parametrisierte Kurve im Punkt $c(0)$ an. Die Tangente hat die Form: (Hilfe)

$g(\lambda) = {1 \choose a} + \lambda {b \choose 1}$

$a\,=$		$b\,=$

3) Ordnen Sie den Funktionen ihre Ableitungen zu.

4) Es sei $A_n=\{ x\in \mathbb{R}^m : 1 + \frac{1}{n} < \|x \|_2 \leq 3 \} \subseteq \mathbb{R}^m, \, m \in \mathbb{N}$ . Sind folgende Aussagen über $A_n$ richtig oder falsch? (Hilfe)

Seien $B_n \subseteq \mathbb{R}^m, n\in \mathbb{N}$ kompakte Mengen. Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

	richtig	falsch
$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} B_n$ ist kompakt.
$\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}} B_n$ ist kompakt.

Sei $M \subset \mathbb{R}^m$ . Welche Aussagen sind richtig oder falsch?

	richtig	falsch
Ist $M$ nicht offen, dann ist $M^c$ nicht abgeschlossen.
Ist $M$ nicht abgeschlossen, dann ist $M$ offen.

5)
a) Untersuchen Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), welche der Normeigenschaften (Definitheit, Homogenität, Dreiecksungleichung) die folgenden Funktionen $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^+_0$ erfüllen: (Hilfe)

b) Sei $D_j=\{ R\in\mathbb{R}^2:\, \|R-P\|_j=\|R-Q\|_j\}, j\in\{1, 2, \infty \}$ und $P(4|1)$ und $Q(7|5)$ gegeben. $D_j$ ist die Menge der Punkte, die von P und Q den gleichen Abstand bezüglich der Norm $\|.\|_j$ haben. Ordnen Sie den Mengen $D_j$ ihre Darstellung in der $\mathbb{R}^2$ -Ebene zu: (Hilfe)

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

$\begin{array}{cc}\ddots & Abb. \ f(x) &\ddots \end{array}$	1)	2)	3)	4)
a) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3, f(x_1,x_2)= (\cos(x_1), \sin(x_1), x_2)$
b) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x_1,x_2)= x_1$
c) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, f(x)= (\frac{1}{10} x \cos(x),\frac{1}{10} x \sin(x), 1)$
d) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x_1,x_2)= x_1+x_2$
e) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, f(x)= (\cos(x),\sin(x), \frac{1}{10} x)$
f) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, f(x_1,x_2)= (\frac{1}{10} x_1 \cos(x_2),\frac{1}{10} x_1 \sin(x_2), 1)$
g) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x_1,x_2)= x_1x_2$

$\begin{array}{cc}\ddots & Funktion\ Ableitung&\ddots \end{array}$	$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,$ $f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} 2x_1^2\ x_1-x_2^3 \end{pmatrix}$	$g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,$ $g(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} \sin x_1\ \cos x_2 \end{pmatrix}$	$h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,$ $h(x)=f(g(x))$
1) $\begin{pmatrix} \cos x_1 & 0 \ 0 & -\sin x_2 \end{pmatrix}$
2) $\begin{pmatrix} 4x_1\cos(2x_1^2) & 0 \ -\sin(x_1-x_2^3) & 3x_2^2\sin(x_1-x_2^3) \end{pmatrix}$
3) $\begin{pmatrix} 4x_1 & 0 \ 1 & -3x_2^2 \end{pmatrix}$
4) $\begin{pmatrix} 4\sin(x_1)\cos(x_1) & 0 \ \cos(x_1) & 3\sin(x_2)\cos^2(x_2)\end{pmatrix}$
5) $\begin{pmatrix} 4x_1 & 1 \ 0 & -3x_2^2 \end{pmatrix}$

	richtig	falsch
$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} A_n$ ist offen.
$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} A_n$ ist abgeschlossen.
$\overline{\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} A_n}$ ist kompakt.

	Definitheit	Homogenität	Dreiecksungleichung
$f_1(x_1,x_2)= \left\|x_1+3x_2\right\|$
$f_2(x_1,x_2)= \left\|x_1\right\|+3\left\|x_2\right\|$
$f_3(x_1,x_2)=(\sqrt{\left\|x_1\right\|}+\sqrt{\left\|x_2\right\|}\,)^2$

	$D_1$	$D_2$	$D_\infty$
a)
b)
c)
d)
e)