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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 1 (HM3)

Selbsttest 1 - Exakte Differentialgleichungen und implizit definierte Funktionen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2y+y^2$ und die beiden Kurven $\psi (t)=(t,2t^2)$ und $\phi (t)=(2t^2, t+1)$ . Bestimmen Sie die angegebenen Ableitungen und kreuzen Sie die richtige Lösung an.

2) Gegeben sei die Differentialgleichung

$(ax^4+bx^3)y-2x^2+x^4y'=0$

a) Für welche $a,\,b$ ist die Differentialgleichung exakt? (Hilfe)

$a\,=$
$b\,=$

b) Für welche $a,\,b$ wird die Differentialgleichung durch den integrierenden Faktor $\Lambda (x)=\mathrm{e}^x$ exakt? (Hilfe)

$a\,=$
$b\,=$

3) Gegeben sei die Differentialgleichung

$4xy - 1 +\frac{x}{y}\, y' =0$

a) Welches der folgenden $\Lambda_i$ ist ein integrierender Faktor für die Differentialgleichung?

$\Lambda_1=x^2$	$\Lambda_2=\frac{1}{y}$	$\Lambda_3=xy$	$\Lambda_4=y^2$

b) Geben Sie die allgemeine Lösung in der Form $F(x,y)=k$ an.

$F(x,y)\,= \,k \,=$ $x^2\, +$ $xy\, +$ $\dfrac{x}{y}$

c) Bestimmen Sie eine explizite Lösung $y(x)$ , welche durch den Punkt $P=(1,1)$ geht.

$y=\dfrac{x}{ax^2+b}$

$a\,=$
$b\,=$

4) In der folgenden Abbildung ist eine Höhenlinie einer Funktion $f(x,y)=c$ dargestellt. Geben Sie an, in welchen der 4 eingezeichneten Bereiche die implizit definierte Funktion in der Form $x(y)$ oder $y(x)$ darstellbar ist.

Bild

5) Gegeben sei die implizit definierte Funktion $f(x,y(x))=(y+x)\cos(y)=1$ und der Punkt $(x_0,y_0)=(1,0)$ .
Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades zu $y$ um $(1,0)$ .

$y(x)\,=$ $(x-1)^0\, +$ $(x-1)^1\, +$ $(x-1)^2\,+\, R_2(x,1)$

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.seite

	a) $4t^3+5t^2$	b) $4t^3+4t^2$	c) $t^4+2t$	d) $24t^3$	e) $4t^4+2t+2$
1) $\frac{\partial f}{\partial x}(\phi(t))$
2) $\frac{\partial f}{\partial y}(\phi(t))$
3) $\frac{\partial f}{\partial x}(\psi(t))+\frac{\partial f}{\partial y}(\psi(t))$
4) $(f\circ\psi)'(t)$

	a) $y(x)$ und $x(y)$ ex.	b) nur $y(x)$ ex.	c) nur $x(y)$ ex.	d) weder $x(y)$ noch $y(x)$ ex.
Bereich 1
Bereich 2
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Bereich 4