$Webrelaunch 2020$

Fakultät für Mathematik

Startseite

Institute

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 3 (HM3)

Selbsttest 3 - Gebietsintegrale

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Integrieren Sie die Funktion $f(x,y)=xy$ über die abgebildeten Mengen.

Das Integral über die Dreiecksfläche hat den Wert: $($ $)^{-1}$ .
Das Integral über den Viertelkreis hat den Wert: $($ $)^{-1}$ .

2) Es sei $D$ das Viereck, auf das $[0,1]^2$ durch die Transformation

$\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \Psi (u,v)= \begin{pmatrix} 2u+uv \ 2v-uv \end{pmatrix}$

abgebildet wird.
Bestimmen Sie die Jacobideterminante von $\Psi$ und berechnen Sie das Integral

$\iint\limits_{D}(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy$

mit Hilfe der Transformationsregel.

$\det \Psi'(u,v)\,=$ + $u$ + $uv$ + $v$

$\iint\limits_{D}(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy$ =

3)
a) Es sei $D$ das durch die Ellipsen $x^2+9y^2=9$ und $x^2+9y^2=81$ sowie die Geraden $y=x$ und $y=0$ eingeschlossene Gebiet im ersten Quadranten der $xy$ -Ebene.
Welche Koordinatentransformation würden Sie zur Berechnung eines Integrals über D benutzen?

	1) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \cos \varphi \ 3r \sin \varphi \end{pmatrix}$							2) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} 3r \cos \varphi \ r \sin \varphi \end{pmatrix}$
	3) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} \frac{1}{3} r \cos \varphi \ r \sin \varphi \end{pmatrix}$							4) $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \cos \varphi \ \frac{1}{3} r \sin \varphi \end{pmatrix}$

b) Im $\mathbb{R}^3$ sei der Körper $M$ gegeben, der durch den Graphen der Funktion $f(x,y)=3-(x^2+4y^2)$ und die Ebene mit der Gleichung $z=-1$ eingeschlossen wird.
Welche der dargestellten Mengen entspricht $M$ ?

1)	2)
3)	4)

Bild 1	Bild 2	Bild 3	Bild 4

Welches Koordinatensystem würden Sie verwenden, um das Volumen von $M$ zu bestimmen?

	1) Angepasste Zylinderkoordinaten der Form $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \cos \varphi \ 2r \sin \varphi \ z \end{pmatrix}$
	2) Angepasste Zylinderkoordinaten der Form $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \cos \varphi \ \frac{1}{2} r \sin \varphi \ z \end{pmatrix}$
	3) Zylinderkoordinaten der Form $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \cos \varphi \ r \sin \varphi \ z \end{pmatrix}$
	4) angepasste Kugelkoordinaten der Form $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \sin \Theta \cos \varphi \ \frac{1}{2} r \sin \Theta \sin \varphi \ r \cos \Theta \end{pmatrix}$

4)
a) Gegeben sei die folgende Menge $M$ :

Welches ist die richtige Beschreibung dieser Menge?

	$M=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \,\mid \,y^2=x^2,\, z^2=x^2,\, 0\leq x \leq 1\}$
	$M=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \,\mid \,x^2+y^2+z^2=1,\, 0\leq y+z \leq 1\}$
	$M=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \,\mid \,y^2+z^2=x^2,\, 0\leq x \leq 1\}$

In welchem Koordinatensystem ist $M$ als Rechteck darstellbar?

	1) $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \ r \sin \varphi \ r \cos \varphi \end{pmatrix}$							2) $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \cos \varphi \ r \sin \varphi \ r \end{pmatrix}$
	3) $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \sin \Theta \cos \varphi \ r \sin \Theta \sin \varphi \ r \cos \Theta \end{pmatrix}$							4) $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\, = \, \begin{pmatrix} r \sin \varphi \ r \ r \cos \varphi \end{pmatrix}$

b) Gegeben sei folgende Menge $M$ :

Welches ist eine richtige Darstellung von $M$ ?

	1) $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+\frac{y^2}{4}\leq1,x\geq0,y\leq0\}$ $\cup$ $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+\frac{y^2}{4}\leq1,x\leq0,y\geq0\}$
	2) $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\frac{x^2}{2}+y^2\leq1,x\geq0,y\geq0\}$ $\cup$ $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\frac{x^2}{2}+y^2\leq 1,x\leq 0,y\leq0\}$
	3) $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\frac{x^2}{4}+y^2\leq1,x\geq0,y\leq0\}$ $\cup$ $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\frac{x^2}{4}+y^2\leq1,x\leq0,y\geq0\}$

Welche Transformation ist zur Berechnung des Flächeninhalts von $M$ geeignet?

	1) $\Psi(\lambda,t)=(2\lambda \cos t, \lambda \sin t)$
	2) $\Psi(\lambda,t)=(\frac{1}{2}\lambda \cos t, \lambda \sin t)$
	3) $\Psi(\lambda,t)=(\lambda \cos t, 2\lambda \sin t)$
	4) $\Psi(\lambda,t)=(\lambda \cos t, \frac{1}{2}\lambda \sin t)$

Wie kann man $M$ in angepassten Polarkoordinaten darstellen?

	1) $M=\{(r,\lambda)\mid 0\leq r \leq 1, 0\leq \lambda \leq \pi\}$
	2) $M=\{(r,\lambda)\mid 0\leq r \leq 1, \frac{\pi}{2}\leq \lambda \leq \pi\}$ $\cup$ $\{(r,\lambda)\mid 0\leq r \leq 1, \frac{3\pi}{2}\leq \lambda \leq 2\pi\}$
	3) $M=\{(r,\lambda)\mid 0\leq r \leq 2, 0\leq \lambda \leq \frac{\pi}{2}\}$ $\cup$ $\{(r,\lambda)\mid 0\leq r \leq 2, \pi \leq \lambda \leq \frac{3\pi}{2}\}$

5) Gegeben sei der Körper $M= \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\mid 1+4y^2+4z^2\leq x\leq5\}$ .

Welches ist die korrekte Darstellung des Schnittes von M mit der $xz$ -Ebene?

Verwenden Sie der Geometrie der Menge angepasste Zylinderkoordinaten, um das Volumen von $M$ zu berechnen. Ergänzen Sie beide Dreifach-Integrale so, dass sie das Volumen von $M$ beschreiben (beachten Sie die jeweils vorgegebene Integrationsreihenfolge) und berechnen Sie dieses Volumen.

$V(M)\,=\,\int\limits_a^b \int\limits_c^d \int\limits_e^f r\, \mathrm d\varphi\mathrm dx\mathrm dr = \int\limits_g^h \int\limits_i^j \int\limits_k^l r\, \mathrm dr\mathrm dx\mathrm d\varphi$

$a$ =			$c$ =			$e$ =
$b$ =			$d$ =			$f$ =

$g$ =			$i$ =			$k$ =
$h$ =			$j$ =			$l$ =

Das Volumen von $M$ ist: $V(M)$ = $\pi$ .

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.