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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 4 (HM3)

Selbsttest 4 - Kurven und Kurvenintegrale

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

2) Ordnen Sie den Parametrisierungen $x(t), \,t\geq 0$ die abgebildeten Kurven zu.

1)	2)	3)
4)	5)

3)
a) Berechnen Sie für die Funktion $f(x,y)=x(\frac12 x^2+3y^2-1)^{\frac32}$ das Kurvenintegral über die Kurve, die vom Punkt $(2,0)$ längs der Funktion $C: x^2-4y^2=4$ zum Punkt $(2\sqrt{2},1)$ verläuft.
Bestimmen Sie zunächst eine Parametrisierung von $C$ :

	1) $x(t)= (2\sqrt{t^2+1},\,t),\, 0\leq t\leq 1$
	2) $x(t)= (\frac12 \cos t,\, \sin t),\, 0\leq t\leq 2\pi$
	3) $x(t)= (t,\, \sqrt{\frac14 t^2-1}),\, 0\leq t\leq 1$

Berechnen Sie nun das Kurvenintegral:

		$\int\limits_C f(x)\,\mathrm ds$ =

b) Berechnen Sie das tangential orientierte Kurvenintegral $\int\limits_C F(x)\cdot \mathrm ds$ , wobei $F(x)=(\mathrm e^x,xy)$ und eine Parametrisierung von $C$ gegeben ist durch $x(t)=(\cos t, \sin t),\, t\in [0,2\pi]$ .

		$\int\limits_C F(x)\cdot \mathrm ds$ =

4)
a) Gegeben sei die folgende Kurve $C \subseteq \mathbb{R}^2$ :

Welches ist eine korrekte Parametrisierung von $C$ ?

	1) $x(t)= (\exp t\cos t,\,\exp t\sin t),\, -2\pi\leq t\leq 2\pi$
	2) $x(t)= (\exp \frac{t}{2\pi} \cos t,\,\exp\frac{t}{2\pi}\sin t),\, -2\pi\leq t\leq 2\pi$
	3) $x(t)= (\frac{t}{2\pi}\exp 1 \cos t,\, \frac{t}{2\pi} \exp 1 \sin t),\, -2\pi\leq t\leq 2\pi$

b) Gegeben sei folgende Kurve $C\subseteq \mathbb{R}^3$ und ihre Projektionen auf die $xy$ -Ebene und auf die $xz$ -Ebene:
C|xy C|xz
Für welche Menge der folgenden Mengen $Z$ gilt $C\subseteq Z$ ?

	1) $Z=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \frac13\, x^2+y^2=3,\,0\leq z\leq 2\pi\}$
	2) $Z=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+9\,y^2=9,\,0\leq z\leq 2\pi\}$
	3) $Z=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+3\,y^2=3,\,0\leq z\leq\pi\}$

Welches ist eine korrekte Parametrisierung von $C$ ?

	1) $x(t)= (\cos t,\, \frac13 \sin t,\,2t),\, t\in[0,2\pi]$
	2) $x(t)= (\frac13 \cos t,\, \sin t,\,t),\, t\in[0,4\pi]$
	3) $x(t)= (3 \cos t,\, \sin t,\,\frac12t),\, t\in[0,4\pi]$

5) Gegeben sei die Kurvenschar $C_r \subseteq\mathbb{R}^3$ mit zugehöriger Parametrisierung

$x(t)=(r \sin t,\, r \cos t,\, \frac12 t),\,t\in[0,6\pi],\,r>0$

Bestimmen Sie den Tangenteneinheitsvektor $\tau(t)$ an der Kurve im Punkt $x(t)$ .

	1) $\tau(t)=\left(\dfrac{r}{\sqrt{r^2+\frac14}}\cos t,\,-\dfrac{r}{\sqrt{r^2+\frac14}}\sin t,\,\dfrac{1}{2\sqrt{r^2+\frac14}}\right)$
	2) $\tau(t)=\left(\dfrac{r}{r+\frac12}}\sin t,\,\dfrac{r}{r+\frac12}}\cos t,\,\dfrac{t}{2r+1}}\right)$
	3) $\tau(t)=\left(\cos t,\,-\sin t,\,\frac{1}{2}\right)$

Parametrisieren Sie die Kurve $C_r$ nun nach der Bogenlänge und kreuzen Sie die richtige Parametrisierung an.

	1) $z(s)= \left(r \,\sin \dfrac{s}{r+\frac12},\,r \cos \dfrac{s}{r+\frac12},\,\dfrac{s}{2r+1}\right),\, s\in[0,L(C_r)]$
	2) $z(s)= \left(r\,\sin \dfrac{2s}{r},\,r\cos\dfrac{2s}{r},\,\dfrac{s}{r} \right),\, s\in[0,L(C_r)]$
	3) $z(s)= \left(r\, \sin \dfrac{s}{\sqrt{r^2+\frac14}},\,r \cos \dfrac{s}{\sqrt{r^2+\frac14}},\,\dfrac{s}{2\sqrt{r^2+\frac14}}\right),\, s\in[0,L(C_r)]$

Die Kurve beschreibt die Auffahrt in einem Parkhaus. Sie möchten entlang der Strecke einen Warnstreifen anbringen. Wie viele Meter Streifen werden benötigt wenn $r=\sqrt{99,75}$ ist?

		Antwort: $\pi$ .

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	Richtig	Falsch
a) Die Kurve $x(t)=(t,\sin t,\cos t), t\in [0,2\pi]$ ist geschlossen.
b) Der Graph einer Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ist durch eine Kurve der Form $x(t)=(t,f(t))$ gegeben.
c) Die Parametrisierung einer Kurve ist bis auf Skalierung eindeutig.
d) Ist die Parametrisierung einer Kurve stetig differenzierbar, so ist die Kurve glatt.
e) Gilt für eine Parametrisierung $x:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^n$ , dass $\\|\dot x(t)\\|_2=1\, \forall t\in [a,b]$ , so ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert.
f) Zu jeder Kurve gibt es eine Parametrisierung nach der Bogenlänge.
g) Das Kurvenintegral $\int\limits_C f(x)\mathrm ds$ ist unabhängig von der Parametrisierung x.
h) Das tangential orientierte Kurvenintegral $\int\limits_C F(x)\cdot \mathrm ds$ ist unabhängig von der Parametrisierung x.

	Bild 1	Bild 2	Bild 3	Bild 4	Bild 5
a) $x(t)=(\cos t\sin t,\, \cos t\cos t)$
b) $x(t)=(\cos 2t\cos t, \,\cos 2t\sin t)$
c) $x(t)=(t\cos t,\, t\sin t)$
d) $x(t)=(\cos (t-\frac{\pi}{4}),\, \cos (2t-\frac{\pi}{4}))$
e) $x(t)=(\cos (t-\frac{\pi}{4}),\, \sin (t-\frac{\pi}{4}))$