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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 7 (HM3)

Selbsttest 7 - Partielle Differentialgleichungen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Untersuchen Sie folgende Differentialgleichungen und kreuzen Sie in der untenstehenden Tabelle die zutreffenden Eigenschaften an:

a) $f_x+(y+2z)f_y + z f_z = 0$		b) $y_{tt}=a^2y_{xx},\, a \neq 0$		c) $y(1+xy)-y'=0$
d) $a^2u_{xx}-u_t=0,\,a\neq 0$		e) $u_{xx}+u_{yy}=0$		f) $u_{tt}+\cos u = 1$

2) Gegeben sei die Differentialgleichung:

$xu_x-yu_y+u=x,\,x>0,\,y\in\mathbb{R}$

mit den Anfangswerten $u(x,y)=x$ auf der Kurve $y=x^2$ .
Bestimmen Sie $a$ , $b$ und $c$ so, dass

$u(x,y)=ax+b\frac1x(xy)^c$

Lösung der Differentialgleichung ist.

$a$ =
$b$ =
$c$ =

3)
a) Für eine quasilineare Differentialgleichung wurden die folgenden Charakteristiken berechnet:

		$k_1(s)=\sqrt{2c_1c_2-s}$
		$k_2(s)=c_2(s+1)+2c_3$
		$w(s)=c_3 \exp(s)$

Gegeben sind zwei unterschiedliche Anfangsbedingungen und mögliche Lösungen. Wählen Sie die korrekten Lösungen zu den beiden Anfangskurven aus:

b) Gegeben sei die folgende partielle Differentialgleichung für $u:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ :

$(u + x_1) \dfrac{\partial u}{\partial x_1} + (x_2 u^2 + x_1) \dfrac{\partial u}{\partial x_2} - \sin x_1 = u$

Welche der folgenden Dfferentialgleichungen sind im charakteristischen System für $(k_1,k_2,w)^{\mathrm T}$ enthalten?

4) Gegeben sei die partielle Differentialgleichung:

$\exp\left(\frac1y\right)\,\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x} + y^2\,\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial y} + 2u(x,y)=0\, , \, x\in\mathbb{R},\,y\in(0,\infty)$

mit den Anfangswerten $u\left(0,\dfrac1t\right)=\exp(2t)$ für $t\in (0,\infty)$ .

a) Bestimmen Sie die gewöhnlichen Differentialgleichungen, durch die die charakteristischen Lösungen beschrieben werden und lösen Sie diese:

Lösung:

	$k_1(s)$ = $a\,\exp(b(s+c_1))+c_2$ mit $a$ = und $b$ =
	$k_2(s)$ = $\dfrac{c}{ds+c_1}$ mit $c$ = und $d$ =
	$w(s)$ = $c_3\exp(es)+f$ mit $e$ = und $f$ =

b) Geben Sie die Charakteristik durch den Punkt $\left( 0, \dfrac1t \right)$ an:

c) Bestimmen Sie $c_3$ so, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist und geben Sie $u=w(s,t)$ an:

		$u$ = $a\,\exp(b\,(t-s))$ mit $a$ = und $b$ =

d) Geben Sie die Lösungen der partiellen Differentialgleichung zu den gegebenen Anfangswerten an:

		$u(x,y)$ = $a\,\exp\left( \dfrac bc \right)+d$ mit	$a$ =	$b$ = ,
			$c$ =	$d$ =

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	1) $u(1,x_2)=x_2$	2) $u(0,2t)=t$
a) $u(x)=\frac12 x_2 \exp(-x_1^2)$
b) $u(x)=\dfrac{x_2-x_1}{2} \exp(x_1)$
c) $u(x)=\dfrac{x_2}{x_1^2} \exp(1-x_1^2)$
d) $u(x)=x_2 \exp(x_1x_2-x_2)$

1) $k_1'=x_1+u$	2) $k_1'=k_1+w$	3) $k_1'=k_1+u$
4) $k_2'=k_2w^2+k_1$	5) $k_2'=k_2u^2+k_1$	6) $k_2'=k_2w^2+k_2+u$
7) $w'=\sin k_1$	8) $w'=\sin k_1 +w$	9) $w'=\cos k_1+k_1$

$k_1'(s)$ =	$\exp\left(\dfrac{1}{k_2(s)}\right)$	$k_2(s)^2$	$\exp\left(\dfrac{1}{k_1(s)}\right)$
$k_2'(s)$ =	$\exp\left(\dfrac{1}{k_2(s)}\right)$	$2k_2(s)$	$k_2(s)^2$
$w'(s)$ =	$2w(s)$	$-2w(s)$	$k_1(s)k_2(s)w(s)$

$c_1$ =			$t$			$-t$			$\exp(t)$		$\exp(-t)$
$c_2$ =			$t$			$-t$			$\exp(t)$		$\exp(-t)$

	a)	b)	c)	d)	e)	f)
Ordnung 1
Ordnung 2
linear
konstante Koeffizienten
partiell und nicht gewöhnlich
elliptisch
parabolisch
hyperbolisch