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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 8 (HM3)

Selbsttest 8 - Separationsansätze

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Gegeben sei die folgende patielle Differentialgleichung für $u:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$\dfrac{\partial u}{\partial x_1} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} + 2u=0$

Markieren Sie, welche durch einen Parameter $k\in\mathbb{R}$ gekoppelten Differentialgleichungspaare Sie bei einer Separation der Form $u(x)=v(x_1)w(x_2)$ erhalten können.

2) Wir betrachten bei einer Separation nach Polarkoordinaten

$u(r,\phi)=v(r)w(\phi)$

unterschiedliche homogene Randbedingungen für $r\geq 0$ bzw. $\phi\in [0,2\pi]$ . Markieren Sie, welche Randbedingungen für die Funktionen $v$ und $w$ jeweils folgen, wenn man triviale Lösungen ausschließen will.

3) Gegeben sei die partielle Differentialgleichung

$u_t=c u_{xx}$

für $0<x<1, 0<t<\infty,$ mit einer Konstanten $c>0$ und den Randbedingungen

	$u(x,0)=\cos(\pi x)$
	$u_x(0,t)=0$
	$u_x(1,t)=0$

Die Differentialgleichung beschreibt die Temperaturverteilung in einem dünnen Stab mit präparierter Anfangsverteilung und isolierten Enden.
Lösen Sie die Gleichung mit Hilfe des Separationsansatzes.

Ohne Anfangsbedingungen erhält man die Lösungen:

und Linearkombinationen daraus.

Bestimmen Sie ausgehend vom Ansatz $u(x,t) = c_1\exp(ckt)\exp(\sqrt{k}x) + c_2\exp(ckt)\exp(-\sqrt{k}x)$ die Konstanten $c_1, c_2$ und $k$ aus den Anfangsbedingungen.

	$c_1$ =		$c_2$ =		$k$ =

Für $u$ ergibt sich damit:

$u(x,t)=a\, \exp(bct)\cos(dx)+e$ mit		$a$ =		$b$ =
		$d$ =		$e$ =

Bestimmen Sie

	$Q(t)=\int\limits_0^1 u(x,t)\mathrm dx$ =

und folgern Sie daraus, dass, wenn $u(x,t)$ eine Ladungsdichte darstellt, die Gesamtladung erhalten bleibt.

Hinweis: $\cos x= \dfrac{\mathrm e^{\mathrm ix}+\mathrm e^{-\mathrm ix}}{2}$

4)
a) Berechnen Sie alle zweimal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen $v=v(x)$ und $w=w(t)$ , so dass $u(x,t)=v(x)w(t)$ eine nichttriviale Lösung der partiellen Differentialgleichung $u_{xx}-u_{tt}+u_x=0$ ist.

Welche Gleichung liefert der Separationsansatz?

		1) $\dfrac{v''}{v}+\dfrac{v'}{v}=\dfrac{w'}{w}=k$
		2) $\dfrac{v''}{v}+\dfrac{v'}{v}=\dfrac{w''}{w}=k$
		3) $\dfrac{v''}{v}+\dfrac{v'}{v}=\dfrac{w''}{w}+k$

Für $v$ hat das charakteristische Polynom folgende Nullstellen:

	$\lambda_{1/2}$ = $\frac{1}{2}\left( a \pm (b + ck)^{\frac{1}{2}}\right)$ mit	$a$ =	$b$ =	$c$ =

Man erhält folgende Lösungen:

b) Bestimmen Sie alle Lösungen $u(x,t)$ von Teilaufgabe a), die für alle $x$ die Bedingungen

$u(x,0)=0,\, u(x,\pi)=0$

erfüllen.

$k<0$	Es existieren nichttriviale Lösungen für
	1) $k^2=m,\,m\in\mathbb{N}$
	2) $k=-m^2,\,m\in\mathbb{N}$
	3) $k=-2m,\,m\in\mathbb{N}$
	4) nur triviale Lösungen

$k=0$	$d_1$ =		$d_2$ =

$k>0$	$d_1$ =		$d_2$ =

Welche Werte nimmt $k$ an?

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	1) $v'-kv=0$	2) $v'+(2-k)v=0$	3) $v'+kv=0$	4) $v'+(2+k)v=0$
a) $w''+kw=0$
b) $w''+(2+k)w=0$
c) $w''+(2-k)w=0$
d) $w''-kw=0$

	1) $w(0)=0$	2) $w(1)=0$	3) $v(0)=0$	4) $v(1)=0$
a) $u(r,0)=0$
b) $u(1,\phi)=0$
c) $\left\|u(r,1)\right\|=-\left\|u(0,\phi)\right\|$

		1) $u(x,t)=\exp(ckt)\exp(\sqrt{k}x),\quad k\in\mathbb{R}$
		2) $u(x,t)=\exp(ckt)\exp(-\sqrt{k}x),\quad k\in\mathbb{R}$
		3) $u(x,t)=\exp(c\sqrt{k}t)\exp(kx),\quad k\in\mathbb{R}$
		4) $u(x,t)=\exp(c\sqrt{k}t)\exp(-kx),\quad k\in\mathbb{R}$
		5) $u(x,t)=1$
		6) $u(x,t)=x$

	$k<-\frac{1}{4}$	$k=-\frac{1}{4}$	$k>-\frac{1}{4}$
1) $v(x)=c_1\exp(\lambda_1x)+c_2\exp(\lambda_2x)$
2) $v(x)=c_1\exp(\lambda x)+c_2x\exp(\lambda x)$
3) $v(x)=c_1\exp(\operatorname{Re}(\lambda_1)x) \sin(\operatorname{Im}(\lambda_1)x)$ $+c_2\exp(\operatorname{Re}(\lambda_2)x)\sin(\operatorname{Im}(\lambda_2)x)$
4) $v(x)=c_1\exp(\operatorname{Re}(\lambda_1)x) \sin(\operatorname{Im}(\lambda_1)x)$ $+c_2\exp(\operatorname{Re}(\lambda_1)x)\cos(\operatorname{Im}(\lambda_1)x)$

	$k<0$	$k=0$	$k>0$
1) $w(t)=d_1\exp(\sqrt{\left\| k \right\|} t) + d_2\exp(-\sqrt{\left\| k \right\|} t)$
2) $w(t)=d_1\sin(\sqrt{\left\| k \right\|} t) + d_2\cos(\sqrt{\left\| k \right\|} t)$
3) $w(t)=d_1+d_2t$