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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Lehre HM

Test 2 (HM2)

Selbsttest 2 - Trigonometrische Polynome

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

Sind Ihnen alle Begriffe klar?
Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.

1) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

2)
a) Setzen Sie die Funktion $f(x)=\sinh x$ $(0\leq x \leq \pi)$ $2\pi$ -periodisch fort, so dass ihr Fourierpolynom $n$ -ten Grades ein reines Kosinuspolynom wird.

Für $x\in [-\pi,0)$ ist

$f(x)$ =		$\sinh x$	$-\sinh x$	$\cosh x$	$-\cosh x$	$0$

b) Gegeben sei die Funktion $f(x)=\sqrt{1+x}$ , $x\in (0,3)$ .
Setzen Sie die Funktion auf das Intervall $(-3,3)$ so fort, dass die angegebene Eigenschaft erfüllt ist und kreuzen Sie die korrekte Fortsetzung für $x\in (-3,0)$ an.

3) Gegeben sei das Skalarprodukt

$\langle f,g \rangle \,:=\int\limits_{-1}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}f(x)g(x)\,\mathrm dx$

Die sogenannten Tschebyscheff-Polynome sind definiert durch $\mathrm T_n(x)=\cos(n \arccos x)$ und können leicht über die Rekursionsformel $\mathrm T_{n+1}(x)=2x\mathrm T_n(x)-\mathrm T_{n-1}(x),\, n\geq 1$ berechnet werden.
Berechnen Sie $\langle \mathrm T_i,\mathrm T_j \rangle$ für $\mathrm T_0, \mathrm T_1, \mathrm T_2$ :

Die Tschebyscheffpolynome sind also bezüglich dem gegebenen Skalarprodukt:

	Orthonormalpolynome
	Orthogonalpolynome
	Trigonometrische Polynome
	nichts davon

4)
a) Gegeben sei die $2\pi$ -periodische Funktion

$f(x)=\begin{cases} -1, & \mathrm{f\ddot ur}\,\, x\in(-\pi,0)\ 1, & \mathrm{f\ddot ur}\,\,x\in(0,\pi)\ 2, & \mathrm{f\ddot ur}\,\,x\in \{-\pi,0,\pi\} \end{cases}$

Bestimmen Sie das Fourierpolynom

$p_n(x)=a_0 + \sum\limits_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)$

zu $f$ .
Kreuzen Sie die Werte von $a_k$ und $b_k$ an.

b) Die $2\pi$ -periodische Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sei definiert durch

$f(x)=\frac{1}{12} (3x^2-\pi^2),\,-\pi\leq x\leq \pi$

Skizzieren Sie den Graph von $f$ für $-2\pi \leq x\leq 2\pi$ .
Welche Skizze entspricht dem Graphen?

1)	2)
3)	4)

Das Fourierpolynom von $f$ hat die Darstellung

$p_n(x)=a_0+\sum\limits_{k=1}^n (a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))$

Welche Fourierkoeffizienten lassen sich allein auf Grund der Symmetrie-Eigenschaften von $f$ ohne Rechnung bestimmen?

	$a_k$
	$b_k$

Berechnen Sie die weiteren Fourierkoeffizienten von $f$ .

In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.

	Richtig	Falsch
1) Ein trigonometrisches Polynom vom Grad $n$ hat stets die Form $p(x)=\sum\limits_{k=0}^n c_k\exp(ikx)$ .
2) Ist $c_k=\bar c_{-k}$ , so ist das trigonometrische Polynom reell.
3) Ist $f$ $L$ -periodisch, so ist $\tilde f(x):=f(\frac{2\pi x}{L})$ $2\pi$ -periodisch.
4) $\langle f,g \rangle \,=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,\mathrm dx$ ist ein Skalarprodukt auf $\mathcal T^n$ .
5) Die Funktionen $\mathrm e^{ikx},\, \left\|k\right\| \leq n$ , bilden eine Orthogonalbasis des $\mathcal T^n$ bezüglich des in der Vorlesung definierten Skalarprodukts.
6) Ist f eine ungerade reellwertige Funktion, so hat das Fourierpolynom $n$ -ten Grades die Darstellung $p_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{2}{\pi} \int\limits_0^{\pi}f(t)\sin(kt)\mathrm dt\right)\sin(kx)$ .
7) Die Fourierkoeffizienten berechnet man über $c_k:=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t)\mathrm e^{ikt}\,\mathrm dt$ .

	1) $-\sqrt{1+x}$	2) $\sqrt{1-x}$	3) $-\sqrt{1-x}$	4) $\sqrt{1+(x+3)}$	5) $\sqrt{1+(x-3)}$
gerade Funktion
ungerade Funktion
$3$ -periodische Funktion

	$0$	$1$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$
$\langle \mathrm T_0,\mathrm T_0 \rangle$
$\langle \mathrm T_0,\mathrm T_1 \rangle$
$\langle \mathrm T_0,\mathrm T_2 \rangle$
$\langle \mathrm T_1,\mathrm T_1 \rangle$
$\langle \mathrm T_1,\mathrm T_2 \rangle$
$\langle \mathrm T_2,\mathrm T_2 \rangle$

	1) $0$	2) $\pi$	3) $\dfrac{4}{k\pi}$	4) $-\dfrac{4}{k\pi}$
$a_k$ für gerade $k$
$a_k$ für ungerade $k$
$b_k$ für gerade $k$
$b_k$ für ungerade $k$

	1) $0$	2) $-1$	3) $\pi$	4) $\dfrac{(-1)^k}{k}$	5) $\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}$	6) $\dfrac{(-1)^k}{k^2}$
$a_0$
$a_k$
$b_k$