Fakultät für Mathematik
Webrelaunch 2020
Fakultät für Mathematik
Startseite
Institute
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme
Lehre HM
Test 3 (HM2)

Selbsttest 3 - Fourierreihen

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).


Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Gegeben sei der Graph der 2\pi-periodischen Funktion f.

Welchen Wert nimmt die Fourierreihe von f an den folgenden Stellen x_j an?

0-\frac 12 \frac 12-1 1\pi\infty
x_1=-\frac{\pi}{2}
x_2=0
x_3=1
x_4=2
x_5=\pi



2)
a) Berechnen Sie die Fourierreihe der 2\pi-periodischen Funktion f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, welche gegeben ist durch

$f(x)= \begin{cases} -1, & x\in (-\pi,0)\ 0, & x\in \{-\pi,0\}\ 1, & x\in (0,\pi) \end{cases}$

0\dfrac{1}{k\pi}\dfrac{2}{k\pi}\dfrac{4}{k\pi}k\pi2k\pi
a_k, k gerade
a_k, k ungerade
b_k, k gerade
b_k, k ungerade

An welchen der angegebenen Stellen haben die Funktion und ihre Fourierreihe denselben Wert?

-2\pi-\pi-101\pi2\pi

b) Berechnen Sie die Fourierreihe der 2\pi-periodischen Funktion g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, welche gegeben ist durch

$g(x)= \begin{cases} -x, & x\in (-\pi,0)\ 0, & x\in \{-\pi,0\}\ x, & x\in (0,\pi) \end{cases}$

Verwenden Sie dabei a).

1) 02) \pi3) \dfrac{\pi}{2}4) -\dfrac{2}{k^2\pi}5) \dfrac{2}{k^2\pi}6) -\dfrac{4}{k^2\pi}7) \dfrac{4}{k^2\pi}
a_0
a_k, k gerade
a_k, k ungerade
b_k, k gerade
b_k, k ungerade



3) Gegeben sei die Funktion

$f(x)= \begin{cases} -1-\frac{2x}{\pi}, & -\pi< x< -\dfrac{\pi}{2}\ 1+\frac{2x}{\pi}, & -\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq 0\ 1-\frac{2x}{\pi}, & 0<x<\pi \end{cases}$

Die Fourierreihe zu f sei gegeben durch a_0+\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx).
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe.

\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^k a_k = 0 1 -1 a_0 -a_0 1-a_0



4)
a) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe a_0+\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) und die komplexe Fourierreihe \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}} c_k \mathrm e^{ikx} für die Funktion f(x)=\pi^2-x^2,\,\left|x\right|\leq\pi.


1) 02) \frac 13 \pi^23) \frac 23 \pi^24) -\frac{1}{k^2}(-1)^k5) \frac{1}{k^2}(-1)^k6) -\frac{2}{k^2}(-1)^k7) \frac{2}{k^2}(-1)^k8) -\frac{4}{k^2}(-1)^k
a_0
a_k
b_k
c_0
c_k

b) Welchen Wert erhält man mittels a) für die Reihen

1) 1-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+\ldots = \pi^2
2) 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\ldots = \pi^2

Für welchen Wert muss man dazu die Fourierreihe betrachten?

0-11-\dfrac{\pi}{2}\dfrac{\pi}{2}\pi
1)
2)



5) f und g seien 2\pi-periodische, quadratintegrierbare Funktionen. Die Fourierkoeffizienten von f seien mit c_n(f) und die von g mit c_n(g),\, n\in\mathbb{Z} bezeichnet.
Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten der folgenden zusammengesetzten Funktionen:

a) c_n(f)+c_n(g)b) c_n(f)c) \alpha\, c_n(f)d) \alpha^n\, c_n(f)e) \mathrm e^{in\tau}\,c_n(f)f) \mathrm e^{-in\tau}\,c_n(f)
1) c_n(f+g)
2) c_n(\alpha f)
3) c_n(f(\cdot -\tau))

Hinweis für (3): Substitution




In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.