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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
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Test 12 (HM3)

Selbsttest 12 - Stochastik

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).


Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1)
a) Welches der folgenden Zufallsexperimente lässt sich als Bernoulliexperiment auffassen?
Geben Sie, wenn möglich, die Trefferwahrscheinlichkeit p und die Länge n der Bernoulli-Kette an. (Hilfe)

JaNeinn =p =
1) Ein Würfel wird dreimal geworfen und die Anzahl der Sechsen notiert.
2) Ein Würfel wird dreimal geworfen und die Augensumme notiert.
3) Bei einem Glücksrad erscheint in 50 % aller Fälle eine 1, in jeweils 25 % der Fälle eine 2 bzw. eine 3. Das Rad wird viermal gedreht und die Ziffern als 4-stellige Zahl notiert.
4) Das obige Glücksrad wird achtmal gedreht. Jedes Mal, wenn die 3 erscheint, erhält man 10 Cent.

b) Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens beträgt 0,49, für die Geburt eines Jungen 0,51. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit 4 Kindern

genau 2 Mädchen sind? p =
höchstens 3 Mädchen sind? p =

Geben Sie die Lösung auf 4 Stellen gerundet an und verwenden Sie einen Dezimalpunkt.




2) Eines der folgendne Wörter wird zufällig gezogen:

DER ZUFALL REGIERT DIE WELT

Berechnen Sie folgende Erwartungswerte:

a) Anzahl der Buchstaben des gezogenen Wortes.
b) Anzahl der Vokale des gezogenen Wortes.
c) Anzahl des Buchstaben "E" des gezogenen Wortes.
0,81,01,41,82,43,84,65,2
a)
b)
c)



3) Ein Student habe auf seinem Weg zum KIT fünf voneinander unabhängig geregelte Ampelkreuzungen zu passieren. Es bezeichne X die Anzahl der überquerten Kreuzungen bis zu einem Halt wegen "Rot" oder dem Erreichen des KIT. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Ampel auf "Rot" steht ist gleich \frac 12.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das KIT erreicht ohne an einer Ampel halten zu müssen?
\,p = \dfrac 1x mit x =

Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von X.

Verteilung:k012345
P(X=k)
Erwartungswert:E(X) = \dfrac 34 \dfrac 78 \dfrac{31}{32} \dfrac{33}{32} \dfrac{49}{16}
Varianz (auf 3 Stellen gerundet):



4) Es sei X eine Zufallsvariable mit Dichte

f(x)= \begin{cases} z(1-x^2), & |x| \leq 1 \ 0, & \text{sonst} \ \end{cases}


Welchen Wert hat die Konstante z? (Hilfe)
z =

Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.

$F_X(x)= \begin{cases} ax^3+bx^2+cx+d, & x< -1\ ex^3+fx^2+gx+h, & -1\leq x \leq 1\ ix^3+jx^2+kx+l, & x>1\ \end{cases}$

mit a = b = c = d =
e = f = g = h =
i = j = k = l =

Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: (Hilfe)

1) P(-0.5<X<0) = \dfrac 56 \dfrac{16}{27} \dfrac{11}{32} \dfrac{23}{38} \dfrac{5}{42}
2) P(X>0\,\left|\,X>-0,5) = \dfrac 56 \dfrac{16}{27} \dfrac{11}{32} \dfrac{23}{38} \dfrac{5}{42}



5) Es sei bekannt, dass die Zeit X zwischen zwei aufeinanderfolgenden Signalen exponentiell verteilt mit dem Parameter \lambda = 0,5\, \text{Minute}^{-1} ist. (siehe Skript s. 107)
Das erste Signal trifft zur Zeit 0 ein.

a) Wie groß ist die mittlere Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Signalen?

Minuten

b) Welche Zeit wird höchstens in 1 % aller Fälle überschritten?
Hinweis: Die Gleichung P(X>t) = 0.01 ist nach t aufzulösen.

t = 5,82 min 8,76 min 9,21 min 11,55 min




In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.