Forschung / Abschlussarbeiten
Zur Zeit gibt es folgende Schwerpunkte in meiner Forschungstätigkeit:
- Numerische Lösung von Streuproblemen durch Randintegralgleichungen, insbesondere für elektromagnetische Wellen,
- Optimales Design von chiralen Streukörpern,
- Inverse Probleme, insbesondere inverse Streuprobleme.
Siehe dazu auch die beiden Projekte C5 und C6 des SFB 1173 Wellenphänomene.
Aktuelle Themen für Abschlussarbeiten
Bachelor-Thema: Approximation von Rotation-Minimizing-Frames durch B-Spline-Kurven
Zu einer zweimal stetig differenzierbaren Kurve gibt es ein begleitendes Dreibein aus Tangential-, Normalen- und Binormalenvektor. Die Standardkonstruktion aus der Differentialgeometrie erhält man über die Frenet'schen Gleichungen, die den Zusammenhang dieser drei Vektoren und ihrer Ableitungen durch Krümmung und Torsion beschreiben. Allerdings hat dieses Standard-Dreiben für manche numerische Anwendungen den Nachteil, dass es entlang der Kurve stark rotiert. Außerdem ist dieses Dreibein nicht definiert (bzw. nicht stetig), wenn die Krümmung der Kurve eine Nullstelle hat/das Vorzeichen wechselt. Diese Eigenschaften machen das Frenet'sche Dreibein ungeeignet für eine Anwendung aus dem SFB Projekt C5: die Definition und Diskretisierung einer dünnen zylindrischen Fläche entlang der Kurve.
Eine Alternative stellt das Rotation-Minimizing-Frame (etwa: Rotations-Minimierendes-Dreibein) dar. Es lässt sich über ein einfaches numerisches Verfahren für eine Folge diskreter Punkte auf der Kurve berechnen. Für eine kontinuierliche Berechnung sind nun diese diskreten Punkte durch ein Ausgleichs-B-Spline zu approximieren. Die Bestimmung des Ausgleichs-B-Spline bei gegebenen Knotenpunkten ist für sich schon ein Optimierungsproblem. Aber auch die Wahl der Knotenpunkte selbst ist bei B-Splines prinzipiell frei und könnte nach geeigneten Gesichtspunkten optimiert werden.
In der Arbeit sollen die Grundlagen der B-Splines sowie die eingesetzen Methoden der Optimierungstheorie beschrieben werden. Die Methode ist zu implementieren (am Besten in Python oder Matlab), wobei auf bestehenden Vorarbeiten des Instituts aufgebaut werden kann. Beispielhaft sind konkrete Rechnungen für einige Kurven zu präsentieren.