Steinsche Methode (Wintersemester 2014/15)
- Dozent*in: Dr. Matthias Schulte
- Veranstaltungen: Vorlesung (0103400), Übung (0103410)
- Semesterwochenstunden: 2+2
Die Übung findet im Raum K2 (Kronenstr. 32, Eingang ca. 10m links neben der Kaffeebar Schiller) statt.
| Termine | ||
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| Vorlesung: | Montag 9:45-11:15 | 1C-01 |
| Übung: | Donnerstag 14:00-15:30 | Seminarraum K2 |
| Lehrende | ||
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| Dozent, Übungsleiter | Dr. Matthias Schulte | |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: matthias.schulte@kit.edu | ||
Inhalt
Der klassische zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabhängigen (und identisch verteilten) Zufallsvariablen unter gewissen schwachen Bedingungen gegen eine normalverteilte Zufallsvariable konvergiert. Bei vielen Fragestellungen, wie z.B. Zufallsgraphen, interessiert man sich jedoch für das Verhalten von Summen abhängiger Zufallsvariablen, für die die Voraussetzungen des klassischen zentralen Grenzwertsatzes nicht erfüllt sind. Für derartige Probleme kann man weiterhin die Konvergenz gegen eine Normalverteilung erwarten, solange die Abhängigkeiten nicht zu stark sind. Die Steinsche Methode ist eine Sammlung von Techniken, mit denen die Konvergenz von Zufallsvariablen gegen eine Normalverteilung gezeigt werden kann. Ein Vorteil dieser Methode, die in den letzten Jahrzehnten sehr populär wurde, ist, dass sie zudem Berry-Esseen-Schranken und Konvergenzraten liefert.
Im Rahmen der Vorlesung werden die Grundkonzepte der Steinschen Methode wie Steinsche Gleichung, Kopplungen, austauschbare Paare und lokale Abhängigkeiten behandelt. Neben der univariaten Normal-Approximation werden auch die multivariate Normal-Approximation und die Poisson-Approximation betrachtet. Als Anwendungen der Steinschen Methode werden Grenzwertsätze (mit der Normal- oder der Poisson-Verteilung als Grenzverteilung) für konkrete Probleme bewiesen. So werden z.B. kombinatorische Zufallsgraphen (Erdös-Renyi-Graphen) und geometrische Zufallsgraphen untersucht.
Voraussetzungen
Die Vorlesung wendet sich an Master-Studierende der mathematischen Studiengänge. Vorausgesetzt werden Kenntnisse der maßtheoretisch fundierten Wahrscheinlichkeitstheorie.
Skript
Dies ist eine vorläufige Version des Skriptes (Stand 20.02.2015). Das Passwort wurde in der Vorlesung bekannt gegeben.
Aufgabenblätter
- Aufgabenblatt 1 (Übung am 30.10.2014)
- Aufgabenblatt 2 (Übung am 06.11.2014)
- Aufgabenblatt 3 (Übung am 20.11.2014)
- Aufgabenblatt 4 (Übung am 04.12.2014)
- Aufgabenblatt 5 (Übung am 18.12.2014)
- Aufgabenblatt 6 (Übung am 15.01.2015)
- Aufgabenblatt 7 (Übung am 29.01.2015)
- Aufgabenblatt 8 (Übung am 05.02.2015)
Literatur
A.D. Barbour, L. Holst, S. Janson (1992): Poisson Approximation, Oxford University Press, Oxford.
L.H.Y. Chen, L. Goldstein, Q.M. Shao (2011): Normal Approximation by Stein's Method, Springer Verlag, Heidelberg.
Ross, N. (2011): Fundamentals of Stein's method, Probability Surveys 8, 210-293, siehe auch arXiv 1109.1880, http://arxiv.org/abs/1109.1880.