Steinsche Methode mit statistischen Anwendungen (Wintersemester 2020/21)
- Dozent*in: Dr. Bruno Ebner
- Veranstaltungen: Vorlesung (0100020), Übung (0100021)
- Semesterwochenstunden: 2+1
Organisatorisches: Vorlesung und Übung werden online asynchron angeboten.
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| Vorlesung: | Online | |
| Übung: | Online | |
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| Dozent, Übungsleiter | Dr. Bruno Ebner | |
| Sprechstunde: Dienstag 14:00 - 15:00 Uhr oder nach Vereinbarung | ||
| Zimmer 2.018 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: Bruno.Ebner@kit.edu | ||
Inhalt
Der klassische zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabhängigen (und identisch verteilten) Zufallsvariablen unter gewissen schwachen Bedingungen gegen eine normalverteilte Zufallsvariable konvergiert. Bei vielen Fragestellungen, wie z.B. Zufallsgraphen, interessiert man sich jedoch für das Verhalten von Summen abhängiger Zufallsvariablen, für die die Voraussetzungen des klassischen zentralen Grenzwertsatzes nicht erfüllt sind. Für derartige Probleme kann man weiterhin die Konvergenz gegen eine Normalverteilung erwarten, solange die Abhängigkeiten nicht zu stark sind. Die Steinsche Methode ist eine Sammlung von Techniken, mit denen die Konvergenz von Zufallsvariablen gegen eine Normalverteilung gezeigt werden kann. Ein Vorteil dieser Methode, die in den letzten Jahrzehnten sehr populär wurde, ist, dass sie zudem sogenannte Berry-Esseen-Schranken und Konvergenzraten, also Aussagen über die Approximationsgüte, liefert. Weiter kann sie auf andere Approximationsverteilungen (wie z.B. Poisson- oder Gamma-Verteilungen) angewandt werden.
Im Rahmen der Vorlesung werden die Grundkonzepte der Steinschen Methode wie Steinsche Gleichung, Charakterisierungen von Verteilungen, Kopplungen und lokale Abhängigkeiten behandelt. Neben der Normal-Approximation wird die Poisson-Approximation betrachtet und statistische Anwendungen auch für andere Verteilungen diskutiert. Als theoretische Anwendungen der Steinschen Methode werden Grenzwertsätze (mit der Normal- oder der Poisson-Verteilung als Grenzverteilung) für konkrete Probleme bewiesen. So werden z.B. kombinatorische Zufallsgraphen (Erdös-Renyi-Graphen) und deren statistische Anwendung in stochastischen Netzwerken untersucht. Die statistischen Anwendungen fokussieren sich vor allem auf sogenannte Anpassungstests, welche Verteilungsannahmen in statistischen Modellen kritisch hinterfragen.
Voraussetzungen
Die Vorlesung wendet sich an Master-Studierende der mathematischen Studiengänge. Vorausgesetzt werden Kenntnisse der maßtheoretisch fundierten Wahrscheinlichkeitstheorie und der Grundvorlesung Statistik (Bachelor).
Materialien zur Vorlesung und aktuelle Informationen
Alle weiteren Materialien zur Vorlesung werden im ILIAS-Kurs zur Verfügung gestellt.
Literaturhinweise
A.D. Barbour, L. Holst, S. Janson (1992): Poisson Approximation, Oxford University Press, Oxford.
L.H.Y. Chen, L. Goldstein, Q.M. Shao (2011): Normal Approximation by Stein's Method, Springer Verlag, Heidelberg https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-15007-4.
Ross, N. (2011): Fundamentals of Stein's method, Probability Surveys 8, 210-293, siehe auch http://arxiv.org/abs/1109.1880.