Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftlich-technische Studiengänge Band 1

VORWORT

Dieses Buch bildet den ersten Teil einer zweibändigen Einführung in die Höhere Mathematik. Es ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die seit vielen Jahren an der Universität Karlsruhe für Studierende der Fachrichtung Wirtschaftsingenieurwesen gehalten werden.
Behandelt werden Elemente der Logik, Mengenlehre, Abbildungen und Relationen, die Zahlbereiche, Kombinatorik, Stochastik, Folgen und Reihen, die Differential- und Integralrechnung einer Variablen sowie Theorie und Praxis linearer Gleichungssysteme und Matrizen.
Unser Leitmotiv beim Verfassen dieses Werkes war die erfolgreiche Karlsruher Tradition, den Studierenden des Wirtschaftsingenieurwesens eine fundierte, systematische und nachhaltige mathematische Grundausbildung zu bieten.
Da Mathematik als Basis von Hochtechnologie eine Schlüsselwissenschaft für die Zukunft darstellt und mathematische Methoden und Algorithmen zunehmend unseren Alltag bestimmen, wird es immer wichtiger, dass Mathematik im Studium nicht als seelenlos Aneinanderreihung von Begriffen und Formeln erfahren wird. In einer Zeit, in der routinemäßige Rechnungen von immer leistungsfähigeren Computern übernommen werden, kommt es zunehmend darauf an, mathematische Methoden kritisch und kreativ anzuwenden, weiterzuentwickeln und gegebenenfalls auch selbständig modellbildend zu arbeiten.
Tatsächlich findet man etwa im sogenannten Financial Engineering, im Risikomanagement oder in den Aktuarswissenschaften zahlreiche Beispiele für die wachsende Bedeutung mathematischer Methoden in der beruflichen Praxis. Die hierzu erforderliche Mathematik geht sogar weit über das hinaus, was innerhalb einer mathematischen Grundausbildung vermittelt werden kann.
Vor diesem Hintergrund zeichnet sich dieses Buch gegenüber vielen anderen Einführungen in die Höhere Mathematik durch folgende Eigenschaften aus:

• Es wird bewusst auf ein "Denken in Schubladen" wie Analysis, Lineare Algebra und Stochastik verzichtet.
• Der im Wirtschaftsleben immer wichtiger werdende Bereich Stochastik ist als unverzichtbarer Bestandteil einer fundierten mathematischen Grundausbildung integriert.
• Der mathematischen Modellbildung kommt besondere Bedeutung zu. Ausführlich behandelt werden unter anderem das Cox-Ross-Rubinstein-Modell der Finanzmathematik sowie Modelle für Bediensysteme und stochastische Netzwerke.
• Die Darstellung beschränkt sich nicht auf die Vermittlung grundlegender mathematischer Techniken wie etwa Differentiations- und Integrationsregeln oder das Lösen linearer Gleichungssysteme, sondern fördert das Verständnis für strukturelle mathematische Zusammenhänge durch die Bereitstellung vollständiger Beweise aller zentralen mathematischen Sätze.

Von dieser Konzeption her wendet sich dieses Buch nicht nur an Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens, sondern auch an Studierende der Wirtschaftswissenschaften, der Informatik, der Wirtschafts- und Technomathematik und des klassischen Diplomstudiengangs Mathematik. Obwohl (fast) keine mathematischen Kenntnisse vorausgesetzt werden, sollte der Leser die Rechengesetze der reellen Zahlen sowie einige geometrische Grundbegriffe (wie Gerade, Ebene, Winkel und Flächeninhalt) beherrschen. Viel wichtiger als umfangreiche Vorkenntnisse ist aber die Bereitschaft, sich den gebotenen Stoff aktiv anzueignen und hierfür gelegentlich auch einmal Bleistift und Papier zur Hand zu nehmen (Klavier spielen lernt man auch nicht ausschließlich durch Noten lesen!).
Der gründlichen Erarbeitung des Stoffes im Selbststudium dienen sowohl viele, das Verständnis unterstützende Beispiele als auch zahlreiche Abbildungen, die das Vorstellungsvermögen anregen sollen. Die Lernzielkontrollen am Ende eines jeden Kapitels laden dazu ein, das erworbene Wissen kritisch zu überprüfen. Für weitere Informationen und Hilfen steht unter der Webadresse

Zusatzmaterial ein Online-Service zum Buch zur Verfügung
(Achtung: Die alte Adresse " http://mspcdip.mathematik.uni-karlsruhe.de/~online " gilt nicht mehr!).

Hinweise für Studierende:
Für ein Verständnis mathematischer Methoden und Schlussweisen ist eine gewisse Vertrautheit mit der Sprache der Mathematik unverzichtbar. Aus diesem Grund stellt das erste Kapitel eine Einführung in die mathematische Logik und die Mengenlehre dar. Auch Kapitel 2 und 3 besitzen grundlegenden Charakter. Bei aufkommender Ungeduld können diese Kapitel zunächst nur "quer gelesen" werden, um baldmöglichst mit Kapitel 4 bzw. 5 fortzufahren. Bei Bedarf kann dann immer noch auf die ersten drei Kapitel zurückgegriffen werden.
Die Kapitel 5, 6 und 7 bauen aufeinander auf und sollten mit wenigen Ausnahmen vollständig bearbeitet werden. Die ersten 7 Abschnitte von Kapitel 8 (Lineare Gleichungssysteme und Matrizen) können unabhängig von den vorangehenden Kapiteln erarbeitet werden.
Das Themenfeld Stochastik zieht sich, beginnend mit der in Abschnitt 3.5 behandelten Kombinatorik, wie ein roter Faden durch das Buch. Trotzdem könnte auch Kapitel 4 (diskrete Stochastik) weggelassen werden, ohne das Verständnis der folgenden Kapitel (mit Ausnahme der Abschnitte 5.4-5.5, 7.6 und 8.8-8.9) zu gefährden.
Der folgende "Abhängigkeitsgraph" zeigt, welche Kapitel bzw. Abschnitte aufeinander aufbauen. Um etwa die Abschnitte 5.4 und 5.5 lesen zu können, müssen vorher alle Wege (über die gerichteten Pfeile) durchlaufen worden sein, die in 5.4 - 5.5 ankommen; man muss also hierfür die ersten vier Kapitel sowie die Abschnitte 5.1 bis 5.3 gelesen haben.

Beweise bilden einen zentralen Teil des Buches. Ihr Verständnis ist ein ganz wesentlicher Schritt zur inhaltlichen Durchdringung mathematischer Aussagen. Lassen Sie sich hier von etwaigen anfänglichen Schwierigkeiten nicht entmutigen! Für das Studium aller Wissenschaften gilt, dass erfolgreiches Lernen ein aktiver und kreativer Prozess ist!
Abschnitte, deren Darstellung vergleichsweise kompakt und anspruchsvoll sind, wurden mit einem * gekennzeichnet. Man kann dieses Symbol aber auch durchaus als Ansporn auffassen, sich die dahinter verborgenen Rosinen nicht entgehen zu lassen!

Hinweise für Dozentinnen und Dozenten:
Dieses Buch enthält etwas mehr Stoff, als in zwei Semestern in jeweils vierstündigen Vorlesungen behandelt werden kann. Möglichkeiten zum Kürzen gibt es in der Stochastik (sie ist ja an vielen Universitäten Gegenstand einer eigenen Lehrveranstaltung) oder in den sehr ausführlich gehaltenen ersten drei Kapiteln.
In der Analysis werden ausgehend von Folgen und unendlichen Reihen die Standardinhalte der Differential- und Integralrechnung einer Variablen behandelt. Der Charakter einer Einführung und die beschränkte Seitenzahl brachten es allerdings mit sich, dass an manchen Stellen auf die eine oder andere wünschenswerte Ergänzung verzichtet werden musste. Die konsequente Einbeziehung von Potenzreihen erlaubt es, das Arsenal an interessanten Funktionen schon frühzeitig erheblich zu erweitern. Außerdem können so die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen ohne Verweis auf die Elementargeometrie exakt definiert sowie die bekannten Additionstheoreme und Ableitungseigenschaften unmittelbar hergeleitet werden. Natürlich sollte man aber auf die geometrische Anschauung nicht verzichten. Band 2 wird unter anderem die Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variablen, den Ausbau der Wahrscheinlichkeitstheorie, die komplexen Zahlen, Fourierreihen sowie Differential- und Differenzengleichungen zum Gegenstand haben.
Die Lineare Algebra wird hier nur insoweit behandelt, wie sie zum strukturellen Verständnis linearer Gleichungssysteme und der Matrizenrechnung notwendig ist. Die Theorie der Eigenwerte, Determinanten und allgemeiner Vektorräume wird in Band 2 entwickelt.
Zu guter Letzt möchten wir allen danken, die uns während der Entstehungsphase dieses Buches eine wertvolle Hilfe waren. Herr Dr. Martin Folkers hat das Projekt von Anfang an mit wohlwollender Kritik und großem Sachverstand begleitet. Seine Hinweise haben an zahlreichen Stellen Eingang gefunden. Herr Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark, Herr Dipl.-Math. Matthias Heveling, Herr Priv.-Doz. Dr. Dieter Kadelka, Herr Priv.-Doz. Dr. Manfred Krtscha, Herr Dr. Frank Miller, Herr Dr. Martin Moser und Frau Michaela Taßler lasen Teile des Manuskriptes und machten unzählige Verbesserungsvorschläge. Zwei Studenten der Fachrichtung Wirtschaftsingenieurwesen, Herr Michael Keßler und Herr Philipp Koziol, haben das vollständige Manuskript mit großer Geduld gelesen. Sie überzeugten uns immer wieder davon, dass bisweilen ein Punkt einem Komma vorzuziehen ist und regten zahlreiche zusätzliche Beispiele und Abbildungen an. Schließlich gilt unser Dank dem Verlag und ganz besonders Frau Schmickler-Hirzebruch für die vertrauensvolle Zusammenarbeit.

Karlsruhe, im Februar 2003
Norbert Henze und Günter Last