Proseminar zur Knotentheorie (Wintersemester 2020/21):

Vorbesprechung:
Montag 02.11.2020, 14:00-15:00 Uhr, per Zoom. Den Zoomlink haben alle Teilnehmenden über Ihre KIT-Emailadresse erhalten.
Seminartermine:
Montag 14:00-15:30 Uhr, (erster Termin: 16.11.2020, letzter Termin: 15.02.2021).
Maximale Teilnehmerzahl:
12
Format:
Das Proseminar findet per Zoom unter Benutzung eines Tablets statt. Ein Tablet können Sie sich bei Bedarf bei mir ausleihen.
Voraussetzungen:
Lineare Algebra 1 und Analysis 1.
Sprechstunde:
Sie können mich bei Bedarf gerne per Email kontaktieren (siehe hier).

Inhalt

Das Ziel dieser Veranstaltung ist es die Grundlagen der Knotentheorie zu erarbeiten und damit Einblicke in ein wichtiges Teilgebiet der Geometrie und Topologie zu erhalten. Bei der Knotentheorie handelt es sich um ein klassiches Gebiet, dessen Ziel es ist Knoten im 3-dimensionalen Raum zu verstehen. Die Anfänge der Knotentheorie gehen auf das 19. Jahrhundert zurück, als Lord Kelvin die Theorie aufstellte, dass Atome verknotete Wirbel im Äther sind und die chemischen Eigenschaften der Elemente durch deren Art der Verknotung bestimmt sind. Dies motivierte den schottischen Physiker P.G. Tait dazu den ersten ernsthaften Versuch zu unternehmen Knoten an Hand von Listen zu klassifizieren. Die Knotentheorie spielt auch in der modernen Mathematik nach wie vor eine wichtige Rolle, zum Beispiel im Studium der 3- und 4-Mannigfaltigkeiten.

Ein Knoten ist eine geschlossene Kurve im 3-dimensionalen Raum. Wir betrachten zwei Knoten als äquivalent, falls diese sich unter Beachtung gewisser Regeln in einander verformen lassen. Wie der Name bereits suggeriert kann man sich einen Knoten intuitiv als eine verknotete Schnur im Raum vorstellen, bei der man die beiden Enden verklebt hat: um zwei Knoten zu identifizieren darf man die Schnur beliebig verformen, aber nicht zerreißen. Wir werden zunächst lernen, wie sich diese intuitive Äquivalenz mathematisch formalisieren lässt. Anschließend werden wir verschiedene Methoden aus der Kombinatorik, Geometrie und Algebra einführen, welche im Studium von Knoten verwendet werden und Einblicke in deren Zusammenspiel erhalten. Dies wird uns erlauben Knoteninvarianten einzuführen und zu studieren und hierdurch unsere Intuition zu bestätigen, dass nicht alle Knoten äquivalent sind.

Literaturhinweise

Als Literaturquelle werden wir das Buch "Knotentheorie für Einsteiger" von C. Livingstone verwenden.

Als weitere Referenz kann auch das englischsprachige Buch "The Knot book" von C.C. Adams hinzugezogen werden.

Bitte beachten Sie für die Vorbereitung Ihres Vortrags das Dokument Wie halte ich einen Seminarvortrag? von Prof. Dr. Manfred Lehn.
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